Упр.769 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что если одна из высот тетраэдра проходит через точку пересечения высот противоположной грани, то и остальные высоты этого тетраэдра проходят через точки пересечения высот противоположных граней.

Пусть $$DH$$ — высота тетраэдра $$DABC$$, а в грани $$ABC$$ точка $$H$$ — точка пересечения высот. Докажем, что тогда и остальные высоты тетраэдра проходят через точки пересечения высот противоположных граней.

Проведём прямые $$a$$ и $$d$$ так, что $$a \parallel BC$$, $$A \in a$$ и $$d \parallel AC$$, $$D \in d$$.

Так как $$DH \perp ABC$$, то прямые $$AH$$ и $$DH$$ лежат в плоскости $$ADH$$ и обе перпендикулярны плоскости $$ABC$$? Нет, точнее: поскольку $$DH \perp ABC$$, то $$DH \perp BC$$ и $$DH \perp AC$$. Кроме того, по условию $$AH \perp BC$$ и $$CH \perp AB$$.

Рассмотрим прямую $$AD$$. Так как $$a \parallel BC$$ и $$AH \perp BC$$, то по теореме о трёх перпендикулярах получаем $$AD \perp BC$$. Аналогично, из $$d \parallel AC$$ и $$DH \perp AC$$ следует $$DP \perp AC$$ для соответствующей высоты в противоположной грани.

Теперь покажем, что $$AD \perp BC$$ и $$AC \perp DB$$. Действительно, из $$DH \perp ABC$$ следует $$DH \perp BC$$ и $$DH \perp AC$$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах:

если $$a \parallel BC$$ и $$AH \perp BC$$, то $$DA \perp a$$, значит $$AD \perp BC$$;

аналогично, если $$d \parallel AC$$ и соответствующая высота в грани $$ADC$$ проходит через точку пересечения её высот, то получаем $$AB \perp DC$$ и $$AC \perp DB$$.

Следовательно, прямая, проходящая через вершину тетраэдра и перпендикулярная противоположному ребру, является высотой тетраэдра. Значит, если одна из высот тетраэдра проходит через точку пересечения высот противоположной грани, то и остальные высоты проходят через точки пересечения высот своих противоположных граней.

Итак, если $$DH$$ проходит через ортоцентр грани $$ABC$$, то высоты из остальных вершин также проходят через ортоцентры соответствующих противоположных граней.