Упр.769 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что если одна из высот тетраэдра проходит через точку пересечения высот противоположной грани, то и остальные высоты этого тетраэдра проходят через точки пересечения высот противоположных граней.

Пусть $$DH$$ — высота тетраэдра $$DABC$$, а $$H$$ — точка пересечения высот треугольника $$ABC$$. Докажем, что тогда и остальные высоты тетраэдра проходят через точки пересечения высот противоположных граней.

Проведём прямые $$a$$ и $$d$$ так, что $$a \parallel BC$$, $$d \parallel AC$$, причём $$A \in a$$ и $$D \in d$$.

Так как $$DH \perp (ABC)$$, то $$DH \perp AH$$ и $$DH \perp CH$$. Следовательно, прямые $$AH$$ и $$CH$$ лежат в плоскости $$ABC$$ и перпендикулярны $$DH$$.

По теореме о трёх перпендикулярах из $$AH \perp BC$$ и $$a \parallel BC$$ получаем $$DA \perp a$$, а значит $$AD \perp BC$$.

Аналогично, из $$CH \perp AB$$ и $$d \parallel AC$$ следует $$DB \perp AC$$, а из $$BH \perp AC$$ получаем $$DC \perp AB$$.

Теперь рассмотрим прямую $$d$$. Так как $$d \parallel AC$$ и $$DB \perp AC$$, то $$DB \perp d$$. Поскольку $$P$$ — точка пересечения высот треугольника $$ADC$$, то прямая, проходящая через $$D$$ и перпендикулярная $$AC$$, является высотой этого треугольника. Значит, $$P$$ лежит на высоте из вершины $$D$$.

Аналогично, из $$AD \perp BC$$ и $$BP \perp AD$$ следует, что $$P$$ лежит и на высоте из вершины $$B$$, а из $$DC \perp AB$$ и $$AP \perp DC$$ — на высоте из вершины $$A$$.

Следовательно, $$P$$ — точка пересечения высот треугольника $$ADC$$.

Точно так же доказывается, что точки пересечения высот остальных граней тетраэдра лежат на соответствующих высотах. Значит, если одна из высот тетраэдра проходит через ортоцентр противоположной грани, то и остальные высоты обладают тем же свойством.

Ответ

Если одна из высот тетраэдра проходит через точку пересечения высот противоположной грани, то и остальные высоты тетраэдра проходят через точки пересечения высот противоположных граней.