Упр.768 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В основании пирамиды $$MABC$$ лежит треугольник $$ABC$$, в котором $$\angle C=90^\circ$$, $$AC=4\text{ см}$$, $$BC=3\text{ см}$$. Грань $$MAC$$ перпендикулярна к плоскости основания, а две другие боковые грани составляют равные углы с плоскостью основания. Расстояние от основания высоты $$MH$$ пирамиды до грани $$MBC$$ равно $$\frac{3\sqrt{2}}{4}\text{ см}$$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Так как $$\angle C=90^\circ,$$ то $$AC\perp BC.$$ Плоскость $$MAC$$ перпендикулярна плоскости основания $$ABC,$$ значит прямая $$MH,$$ где $$H$$ — основание высоты пирамиды, лежит в плоскости $$MAC$$ и $$MH\perp ABC.$$

Проведём в плоскости основания через точку $$H$$ прямую $$HP\perp AB.$$ Тогда по теореме о трёх перпендикулярах $$MP\perp AB.$$

Рассмотрим треугольники $$MHC$$ и $$PMH.$$ Они прямоугольные, имеют общую сторону $$MH,$$ а также равные углы при основании, поэтому $$PH=CH.$$ Аналогично из равенства углов при основании в треугольниках с вершиной $$M$$ получаем $$PB=BC.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$

$$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5.$$

Так как $$BH$$ — высота к гипотенузе $$AB$$, то

$$\frac{AH}{AB}=\frac{CH}{CB}.$$

Отсюда

$$\frac{AH}{5}=\frac{CH}{3},$$

а также $$AH+CH=AC=4.$$ Тогда

$$3AH=5CH,$$

$$AH=4-CH,$$

$$3(4-CH)=5CH,$$

$$12=8CH,$$

$$CH=\frac{3}{2},\qquad AH=\frac{5}{2}.$$

Найдём объём пирамиды $$MHBC$$ двумя способами:

$$V_{MHBC}=\frac13\cdot S_{MBC}\cdot CH=\frac13\cdot \frac12\cdot MC\cdot BC\cdot CH$$

и

$$V_{MHBC}=\frac13\cdot S_{CBH}\cdot MH=\frac13\cdot \frac12\cdot CH\cdot BC\cdot MH.$$

Так как $$BC=3,$$ то

$$V_{MHBC}=\frac13\cdot \frac12\cdot \frac32\cdot 3\cdot MC=\frac{3\sqrt2}{8}\,MC,$$

а по условию расстояние от точки $$H$$ до грани $$MBC$$ равно $$\frac{3\sqrt2}{4},$$ значит

$$V_{MHBC}=\frac13\cdot S_{MBC}\cdot \frac{3\sqrt2}{4}.$$

Приравнивая выражения для объёма, получаем

$$\frac{3\sqrt2}{8}\,MC=\frac34\,MH.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$MCH$$:

$$MC^2=MH^2+CH^2=MH^2+\left(\frac32\right)^2.$$

Из равенства выше и подстановки $$MH=\frac{3\sqrt2}{2}\,MC$$ получаем

$$MC^2=\frac92,$$

следовательно,

$$MC=\frac{3\sqrt2}{2},\qquad MH=\frac32.$$

Теперь найдём площади боковых граней:

$$S_{MBC}=\frac12\cdot MC\cdot BC=\frac12\cdot \frac{3\sqrt2}{2}\cdot 3=\frac{9\sqrt2}{4},$$

$$S_{AMB}=\frac12\cdot AB\cdot MP=\frac12\cdot 5\cdot \frac{3\sqrt2}{2}=\frac{15\sqrt2}{4},$$

$$S_{AMC}=\frac12\cdot AC\cdot MH=\frac12\cdot 4\cdot \frac32=3.$$

Тогда площадь боковой поверхности пирамиды равна

$$S_{\text{бок}}=S_{MBC}+S_{AMB}+S_{AMC}=\frac{9\sqrt2}{4}+\frac{15\sqrt2}{4}+3=6\sqrt2+3=3(2\sqrt2+1).$$

Ответ: $$3(2\sqrt2+1)\text{ см}^2.$$