Упр.765 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

а) площадь боковой поверхности пирамиды;
б) объём пирамиды;
в) угол наклона боковой грани к плоскости основания;
г) угол между боковым ребром и плоскостью основания;
д) скалярное произведение векторов (AB+AD)AM;
е) площадь сферы, описанной около пирамиды.

Подробный ответ

Пусть $$H$$ — центр квадрата $$ABCD$$, а $$MH \perp (ABCD)$$. Тогда $$MH$$ — высота пирамиды.

а) Пирамида правильная, значит все боковые грани равны, поэтому

$$S_{\text{бок}}=4S_{MAB}.$$

В прямоугольном треугольнике $$MAH$$:

$$AH=\frac{1}{2}AC,\qquad AC=AB\sqrt2=6\sqrt2\cdot\sqrt2=12,$$

значит

$$AH=6.$$

Тогда

$$MH=\sqrt{MA^2-AH^2}=\sqrt{12^2-6^2}=\sqrt{108}=6\sqrt3.$$

Площадь одной боковой грани:

$$S_{MAB}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot MH=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt2\cdot 6\sqrt3=18\sqrt6.$$

Следовательно,

$$S_{\text{бок}}=4\cdot 18\sqrt6=72\sqrt6\ \text{см}^2.$$

б) Площадь основания:

$$S_{ABCD}=AB^2=(6\sqrt2)^2=72.$$

Тогда объём пирамиды

$$V=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot MH=\frac{1}{3}\cdot 72\cdot 6\sqrt3=144\sqrt3\ \text{см}^3.$$

в) Угол наклона боковой грани к плоскости основания равен двугранному углу между плоскостями $$MAB$$ и $$ABCD$$. Рассмотрим сечение плоскостью, перпендикулярной ребру $$AB$$ и проходящей через точки $$M$$ и $$H_1$$, где $$H_1$$ — середина $$AB$$. Тогда искомый угол равен $$\angle MH_1H$$.

В прямоугольном треугольнике $$MHH_1$$:

$$AH_1=\frac{AB}{2}=3\sqrt2,$$

$$MH_1=\sqrt{MA^2-AH_1^2}=\sqrt{12^2-(3\sqrt2)^2}=\sqrt{126}=3\sqrt{14},$$

$$HH_1=\sqrt{MH_1^2-MH^2}=\sqrt{126-108}=\sqrt{18}=3\sqrt2.$$

Тогда

$$\tan\angle MH_1H=\frac{MH}{HH_1}=\frac{6\sqrt3}{3\sqrt2}=\sqrt6,$$

откуда

$$\angle (MAB,ABCD)=\arctan\sqrt6.$$

г) Угол между боковым ребром и плоскостью основания — это угол $$\angle MAH$$. В прямоугольном треугольнике $$MAH$$:

$$\tan\angle MAH=\frac{MH}{AH}=\frac{6\sqrt3}{6}=\sqrt3,$$

значит

$$\angle MAH=60^\circ.$$

д) Так как $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC},$$ то

$$\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)\cdot\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AM}.$$

В треугольнике $$AMC$$ угол $$\angle MAC=60^\circ$$, поэтому

$$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AM}=AC\cdot AM\cdot \cos 60^\circ=12\cdot 12\cdot \frac{1}{2}=72.$$

е) Центр описанной сферы лежит на высоте $$MH$$. Обозначим его через $$O$$, а радиус сферы — через $$R$$. Тогда $$MO=R$$, и в прямоугольном треугольнике $$AOH$$:

$$AO^2=AH^2+OH^2.$$

Так как $$OH=MH-MO=6\sqrt3-R,$$ получаем

$$R^2=6^2+\left(6\sqrt3-R\right)^2.$$

Отсюда

$$R^2=36+108-12\sqrt3\,R+R^2,$$

$$12\sqrt3\,R=144,$$

$$R=\frac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3.$$

Тогда площадь сферы:

$$S_{\text{сферы}}=4\pi R^2=4\pi\cdot 48=192\pi\ \text{см}^2.$$