Упр.764 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим правильную треугольную призму $$ABCA_1B_1C_1$$, где $$AB=6$$ см, $$AA_1=3$$ см.

а)

Найдём площадь сечения плоскостью $$ABC_1$$.

В прямоугольном треугольнике $$AA_1C_1$$:

$$AC_1=\sqrt{AA_1^2+A_1C_1^2}=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{45}=3\sqrt5.$$

В треугольнике $$ABC_1$$ опустим высоту $$C_1H\perp AB$$. Тогда

$$AH=\frac{AB}{2}=3,$$

и

$$C_1H=\sqrt{AC_1^2-AH^2}=\sqrt{45-9}=\sqrt{36}=6.$$

Следовательно,

$$S_{ABC_1}=\frac12\cdot AB\cdot C_1H=\frac12\cdot 6\cdot 6=18\text{ см}^2.$$

б)

Так как призма правильная, то $$A_1B_1\parallel AB$$. Плоскость $$ABC_1$$ содержит прямую $$AB$$, значит прямая $$A_1B_1$$ параллельна плоскости $$ABC_1$$.

в)

Прямая $$B_1C$$ лежит в плоскости $$BCB_1C_1$$, а её ортогональная проекция на плоскость $$ABC$$ — это отрезок $$BC$$. Поэтому искомый угол равен $$\angle B_1CB$$.

В прямоугольном треугольнике $$BCB_1$$:

$$BB_1=3,\qquad BC=6,$$

откуда

$$\tg \angle B_1CB=\frac{BB_1}{BC}=\frac{3}{6}=\frac12.$$

Значит,

$$\angle(B_1C,(ABC))=\arctg \frac12.$$

г)

Найдём угол между плоскостями $$AB_1C$$ и $$ABC$$.

Пусть $$H$$ — середина отрезка $$AC$$. Тогда в равностороннем треугольнике $$ABC$$ отрезок $$BH$$ является высотой:

$$BH=\sqrt{BC^2-CH^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt3.$$

Так как $$AB_1=BC$$, треугольник $$AB_1C$$ равнобедренный, и прямая $$B_1H$$ является его высотой. Тогда угол между плоскостями равен $$\angle BHB_1$$.

В прямоугольном треугольнике $$BHB_1$$:

$$\tg \angle BHB_1=\frac{BB_1}{BH}=\frac{3}{3\sqrt3}=\frac1{\sqrt3}.$$

Следовательно,

$$\angle(AB_1C,(ABC))=\arctg \frac1{\sqrt3}=30^\circ.$$

д)

Вычислим длину вектора:

$$\overrightarrow{BB_1}-\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{A_1A}-\overrightarrow{C_1C}.$$

Так как $$\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{CC_1}$$, то

$$\overrightarrow{A_1A}=-\overrightarrow{AA_1},\qquad \overrightarrow{C_1C}=-\overrightarrow{CC_1}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{BB_1}-\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{A_1A}-\overrightarrow{C_1C} = \overrightarrow{BB_1}-\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{BB_1} = -\overrightarrow{BC}.$$

Следовательно, длина этого вектора равна

$$|\overrightarrow{BC}|=BC=6\text{ см}.$$

е)

Площадь основания призмы:

$$S_{ABC}=\frac{\sqrt3}{4}AB^2=\frac{\sqrt3}{4}\cdot 6^2=9\sqrt3\text{ см}^2.$$

Объём призмы:

$$V=S_{ABC}\cdot AA_1=9\sqrt3\cdot 3=27\sqrt3\text{ см}^3.$$

Ответ: а) $$18\text{ см}^2$$; б) $$A_1B_1\parallel ABC_1$$; в) $$\arctg \frac12$$; г) $$30^\circ$$; д) $$6\text{ см}$$; е) $$27\sqrt3\text{ см}^3$$.