Упр.763 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что при параллельном переносе на вектор p: а) плоскость, не параллельная вектору p и не содержащая этот вектор, отображается на параллельную ей плоскость; б) плоскость, параллельная вектору p или содержащая этот вектор, отображается на себя.

а) Возьмём на плоскости две пересекающиеся прямые $$a$$ и $$b$$. Пусть при параллельном переносе на вектор $$\vec p$$ прямая $$a$$ переходит в прямую $$a_1$$, а прямая $$b$$ — в прямую $$b_1$$.

Так как параллельный перенос переводит прямую в параллельную ей прямую, то $$a_1 \parallel a$$ и $$b_1 \parallel b$$. Поскольку прямые $$a$$ и $$b$$ пересекаются, то пересекаются и прямые $$a_1$$ и $$b_1$$.

Через пересекающиеся прямые $$a_1$$ и $$b_1$$ проходит единственная плоскость. Она параллельна исходной плоскости, так как содержит две пересекающиеся прямые, соответственно параллельные двум пересекающимся прямым данной плоскости.

Следовательно, плоскость, не параллельная вектору $$\vec p$$ и не содержащая этот вектор, при параллельном переносе отображается на параллельную ей плоскость.

б) Пусть на плоскости проведены прямые $$a$$ и $$b$$ так, что $$a \parallel \vec p$$ и $$b \parallel \vec p$$.

Известно, что прямая, параллельная вектору переноса, при параллельном переносе отображается на себя. Значит, прямые $$a$$ и $$b$$ переходят сами в себя.

Через две пересекающиеся прямые $$a$$ и $$b$$ проходит единственная плоскость. Так как обе эти прямые при переносе переходят в себя, то и вся плоскость отображается на себя.

Если плоскость содержит вектор $$\vec p$$, то она содержит прямую, параллельную $$\vec p$$, и при параллельном переносе также отображается на себя.

Ответ

а) Плоскость отображается на параллельную ей плоскость.
б) Плоскость, параллельная вектору $$\vec p$$ или содержащая этот вектор, отображается на себя.