Упр.763 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что при параллельном переносе на вектор $$\vec p$$:
а) плоскость, не параллельная вектору $$\vec p$$ и не содержащая этот вектор, отображается на параллельную ей плоскость;
б) плоскость, параллельная вектору $$\vec p$$ или содержащая этот вектор, отображается на себя.

а) Возьмём на плоскости две пересекающиеся прямые $$a$$ и $$b$$.

При параллельном переносе прямая $$a$$ перейдёт в прямую $$a_1$$, параллельную $$a$$, а прямая $$b$$ — в прямую $$b_1$$, параллельную $$b$$.

Так как $$a$$ и $$b$$ пересекаются, то и прямые $$a_1$$ и $$b_1$$ тоже пересекаются. Проведём через них плоскость.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Следовательно, образ данной плоскости при параллельном переносе — плоскость, параллельная ей.

б) Проведём на плоскости прямые $$a$$ и $$b$$ так, что $$a \parallel \vec p$$ и $$b \parallel \vec p$$.

Известно, что прямая, параллельная вектору $$\vec p$$ или содержащая его, при параллельном переносе на вектор $$\vec p$$ отображается на себя. Значит, прямые $$a$$ и $$b$$ переходят сами в себя.

Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость, поэтому эта плоскость также отображается на себя.

Таким образом, если плоскость параллельна вектору $$\vec p$$ или содержит этот вектор, то при параллельном переносе на $$\vec p$$ она отображается на себя.