Упр.762 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

При зеркальной симметрии относительно плоскости $$\alpha$$ плоскость $$\beta$$ отображается на плоскость $$\beta_1$$. Докажите, что если плоскость $$\beta$$ образует с плоскостью $$\alpha$$ угол $$\varphi$$, то и плоскость $$\beta_1$$ образует с плоскостью $$\alpha$$ угол $$\varphi$$.

Рассмотрим сечение плоскостью, перпендикулярной линии пересечения плоскостей $$\alpha$$ и $$P$$ и проходящей через точку $$O$$. В этом сечении плоскость $$P$$ задаётся прямой $$OB$$, а её образ при зеркальной симметрии — прямой $$OB_1$$.

Так как при зеркальной симметрии расстояния сохраняются, то $$BK=B_1K$$. Следовательно, точка $$K$$ — середина отрезка $$BB_1$$. Кроме того, ось симметрии проходит через точку $$O$$, поэтому $$OK$$ является одновременно медианой, высотой и биссектрисой в треугольнике $$BB_1O$$.

Треугольники $$BOK$$ и $$B_1OK$$ прямоугольные, причём $$OK$$ — общий катет, а $$BK=B_1K$$. Тогда

$$\sin \angle BOK=\frac{OK}{BK}, \qquad \sin \angle B_1OK=\frac{OK}{B_1K}.$$

Но $$BK=B_1K$$, значит

$$\sin \angle BOK=\sin \angle B_1OK.$$

Оба угла острые, поэтому

$$\angle BOK=\angle B_1OK.$$

Если $$\angle BOK=\varphi$$, то и $$\angle B_1OK=\varphi$$. Значит, плоскость $$P_1$$ образует с плоскостью $$\alpha$$ тот же угол $$\varphi$$, что и плоскость $$P$$.

Ответ: плоскость $$P_1$$ образует с плоскостью $$\alpha$$ угол $$\varphi$$.