Упр.762 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: При зеркальной симметрии относительно плоскости а плоскость p отображается на плоскость P1. Докажите, что если плоскость P образует с плоскостью а угол ф, то и плоскость P1 образует с плоскостью а угол ф.

Подробный ответ

Рассмотрим сечение плоскостью, перпендикулярной линии пересечения плоскостей $$\alpha$$ и $$P$$ и проходящей через точку $$O$$. Пусть эта плоскость пересекает $$P$$ по прямой $$OB$$, а плоскость $$P_1$$ — по прямой $$OB_1$$. Тогда углы между плоскостями $$P$$ и $$\alpha$$, а также между $$P_1$$ и $$\alpha$$ равны соответственно углам $$\angle BOK$$ и $$\angle B_1OK$$, где $$OK \perp \alpha$$.

При зеркальной симметрии относительно плоскости $$\alpha$$ точка $$B$$ переходит в точку $$B_1$$, поэтому $$BK = B_1K$$. Кроме того, точка $$K$$ лежит на плоскости симметрии, значит $$OK$$ — общая сторона треугольников $$BOK$$ и $$B_1OK$$.

Треугольники $$BOK$$ и $$B_1OK$$ прямоугольные, так как $$OK \perp \alpha$$, а отрезки $$BK$$ и $$B_1K$$ лежат в плоскостях, образующих с $$\alpha$$ искомые углы. Тогда

$$ \sin \angle BOK=\frac{OK}{BK}, \qquad \sin \angle B_1OK=\frac{OK}{B_1K}. $$

Так как $$BK=B_1K$$, то

$$ \sin \angle BOK=\sin \angle B_1OK. $$

Оба угла острые, следовательно,

$$ \angle BOK=\angle B_1OK=\varphi. $$

Значит, плоскость $$P_1$$ образует с плоскостью $$\alpha$$ тот же угол $$\varphi$$, что и плоскость $$P$$.