Упр.761 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

При движении прямая $$a$$ отображается на прямую $$a_1$$, а плоскость $$\alpha$$ — на плоскость $$\alpha_1$$. Докажите, что:
а) если $$a \parallel \alpha$$, то $$a_1 \parallel \alpha_1$$;
б) если $$a \perp \alpha$$, то $$a_1 \perp \alpha_1$$.

Подробный ответ

Пусть при движении точки $$A,B,C$$ переходят в точки $$A_1,B_1,C_1$$ соответственно, а прямая $$a$$ — в прямую $$a_1$$, плоскость $$\alpha$$ — в плоскость $$\alpha_1$$.

а)

Если $$a \parallel \alpha$$, то все точки прямой $$a$$ находятся на одинаковом расстоянии от плоскости $$\alpha$$. При движении расстояния сохраняются, значит, все точки прямой $$a_1$$ находятся на одинаковом расстоянии от плоскости $$\alpha_1$$.

Следовательно, прямая $$a_1$$ параллельна плоскости $$\alpha_1$$.

б)

Пусть $$a \perp \alpha$$. Возьмём на прямой $$a$$ две точки $$A$$ и $$B$$, а в плоскости $$\alpha$$ — произвольную точку $$M$$. Тогда $$AM \perp BM$$, так как $$a \perp \alpha$$.

При движении получаем точки $$A_1,B_1,M_1$$, причём сохраняются длины:

$$A_1M_1=AM,\qquad B_1M_1=BM,\qquad A_1B_1=AB.$$

Значит, из равенства треугольников следует, что угол между $$A_1M_1$$ и $$B_1M_1$$ прямой, то есть $$A_1M_1 \perp B_1M_1$$. Так как точка $$M_1$$ — произвольная точка плоскости $$\alpha_1$$, то прямая $$a_1$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости получаем:

$$a_1 \perp \alpha_1.$$