Упр.759 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Дан двугранный угол $$CABD$$, равный $$\varphi$$ ($$\varphi<90^\circ$$). Известно, что $$AC\perp AB$$ и $$\angle DAB=9$$. Найдите $$\cos\angle CAD$$.

Обозначим $$\angle DAB=\theta.$$ Пусть $$OA\perp AB$$, тогда, так как $$OD\parallel AB$$, получаем $$OD\perp OA.$$ По теореме о трёх перпендикулярах из $$CO\perp OD$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOD$$. Если $$AD=a$$, то

$$AO=a\sin\theta,\qquad OD=a\cos\theta.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$OAC$$. По теореме косинусов:

$$CO^2=OA^2+AC^2-2\cdot OA\cdot AC\cos\varphi$$

Так как $$AC=AD=a$$, то

$$CO^2=a^2\sin^2\theta+a^2-2a^2\sin\theta\cos\varphi.$$

С другой стороны, в прямоугольном треугольнике $$COD$$:

$$CD^2=CO^2+OD^2$$

то есть

$$CD^2=a^2\sin^2\theta+a^2-2a^2\sin\theta\cos\varphi+a^2\cos^2\theta.$$

Рассмотрим треугольник $$CAD$$. По теореме косинусов:

$$CD^2=CA^2+AD^2-2\cdot CA\cdot AD\cos\angle CAD.$$

Подставляя $$CA=AD=a$$, получаем

$$CD^2=2a^2-2a^2\cos\angle CAD.$$

Приравнивая выражения для $$CD^2$$, имеем

$$a^2\sin^2\theta+a^2-2a^2\sin\theta\cos\varphi+a^2\cos^2\theta =2a^2-2a^2\cos\angle CAD.$$

Так как $$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$$, то

$$2a^2-2a^2\sin\theta\cos\varphi=2a^2-2a^2\cos\angle CAD.$$

Следовательно,

$$\cos\angle CAD=\sin\theta\cos\varphi.$$

Но $$\theta=\angle DAB$$, а по условию $$\angle DAB=90^\circ$$, значит $$\sin\theta=1$$. Тогда

$$\cos\angle CAD=\cos\varphi.$$

Ответ: $$\cos\angle CAD=\cos\varphi.$$