Упр.759 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Дан двугранный угол CABD, равный ф (ф < 90°). Известно, что AC Z AB и ZDAB = 9. Найдите cos ZCAD.
Обозначим $$\angle DAB=\theta$$, а $$\angle CAD=x$$. Пусть $$OA\perp AB$$ и $$OD\parallel AB$$. Тогда $$OD\perp OA$$.
По теореме о трёх перпендикулярах из $$CO\perp (ABD)$$ следует, что $$CO\perp OD$$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOD$$. Если $$AD=a$$, то
$$AO=a\sin\theta,\qquad OD=a\cos\theta.$$
Теперь рассмотрим треугольник $$OAC$$. По теореме косинусов:
$$ CO^2=OA^2+AC^2-2\cdot OA\cdot AC\cos\varphi $$
$$ CO^2=a^2\sin^2\theta+a^2-2a^2\sin\theta\cos\varphi $$
Так как $$AC\perp AB$$, то в треугольнике $$AOC$$ получаем
$$ CO^2=2a^2\sin^2\theta(1-\cos\varphi). $$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$COD$$:
$$ CD^2=CO^2+OD^2=2a^2\sin^2\theta(1-\cos\varphi)+a^2\cos^2\theta. $$
С другой стороны, в треугольнике $$CAD$$ по теореме косинусов:
$$ CD^2=CA^2+AD^2-2\cdot CA\cdot AD\cos x. $$
Подставим $$CA=a\sin\theta$$ и $$AD=a$$:
$$ CD^2=a^2\sin^2\theta+a^2-2a^2\sin\theta\cos x. $$
Приравниваем два выражения для $$CD^2$$:
$$ 2a^2\sin^2\theta(1-\cos\varphi)+a^2\cos^2\theta = a^2\sin^2\theta+a^2-2a^2\sin\theta\cos x. $$
После сокращения и преобразований получаем:
$$ 2\sin\theta\cos x=2\sin\theta\cos\varphi. $$
Так как $$\sin\theta\ne 0$$, то
$$ \cos x=\cos\varphi. $$
Следовательно,
$$ \cos\angle CAD=\cos\varphi. $$
Ответ
$$\cos\angle CAD=\cos\varphi$$