Упр.758 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Лучи $$OA$$, $$OB$$ и $$OC$$ расположены так, что $$\angle BOC=\angle BOA=\text{Ab0}$$, $$\angle AOC=60^\circ$$. Прямая $$OH$$ перпендикулярна к плоскости $$AOB$$. Найдите угол между прямыми $$OH$$ и $$OC$$.

Обозначим $$OC=a.$$ Тогда из прямоугольных треугольников $$COA$$ и $$COB$$ получаем:

$$OA=OC\cos 60^\circ=\frac{a}{2},$$

$$OB=OC\cos 45^\circ=\frac{a}{\sqrt{2}}.$$

Рассмотрим треугольник $$AOB$$. По теореме косинусов:

$$AB^2=OA^2+OB^2-2\cdot OA\cdot OB\cos 45^\circ$$
$$AB^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2-2\cdot \frac{a}{2}\cdot \frac{a}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} =\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{2} =\frac{a^2}{4}.$$
Следовательно,
$$AB=\frac{a}{2}.$$

Значит, $$OA=AB$$, поэтому треугольник $$AOB$$ равнобедренный. Так как $$\angle AOB=45^\circ$$, то

$$\angle ABO=\angle OAB=\frac{180^\circ-45^\circ}{2}=67{,}5^\circ.$$

Но прямая $$OH$$ перпендикулярна плоскости $$AOB$$, значит угол между прямыми $$OH$$ и $$OC$$ равен углу между $$OC$$ и её проекцией на плоскость $$AOB$$. Эта проекция проходит через точку $$O$$ и совпадает с направлением, перпендикулярным к $$OB$$ в плоскости, поэтому искомый угол равен $$45^\circ$$.

Ответ: $$45^\circ$$.