Упр.757 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Лучи OA, OB, OC и OM расположены так, что $$\angle AOB=\angle BOC=\angle COA=90^\circ$$, $$\angle AOM=\varphi_1$$, $$\angle BOM=\varphi_2$$, $$\angle COM=\varphi_3$$. Докажите, что $$\cos^2\varphi_1+\cos^2\varphi_2+\cos^2\varphi_3=1$$.

Подробный ответ

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат так, чтобы лучи $$OA,$$ $$OB,$$ $$OC$$ были направлены вдоль осей координат. Тогда можно считать, что вектор $$\overrightarrow{OM}$$ имеет координаты $$x,y,z$$, а углы $$\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3$$ — это углы между лучом $$OM$$ и осями.

Тогда для длины вектора $$\overrightarrow{OM}$$ имеем:

$$|\overrightarrow{OM}|^2=x^2+y^2+z^2.$$

С другой стороны, проекции вектора $$\overrightarrow{OM}$$ на оси равны:

$$x=|\overrightarrow{OM}|\cos\varphi_1,\qquad y=|\overrightarrow{OM}|\cos\varphi_2,\qquad z=|\overrightarrow{OM}|\cos\varphi_3.$$

Подставим это в формулу для квадрата длины:

$$|\overrightarrow{OM}|^2= |\overrightarrow{OM}|^2\cos^2\varphi_1+ |\overrightarrow{OM}|^2\cos^2\varphi_2+ |\overrightarrow{OM}|^2\cos^2\varphi_3.$$

Так как $$|\overrightarrow{OM}|\neq 0,$$ разделим обе части на $$|\overrightarrow{OM}|^2$$:

$$\cos^2\varphi_1+\cos^2\varphi_2+\cos^2\varphi_3=1.$$