Упр.757 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Лучи OA, OB, OC и OM расположены так, что ZAOB = ZBOC = = ZCOA = 90°, ZAOM = ^1, ZBOM = ф2, ZCOM = < р3. Докажите, ЧТО COS2 ф] + COS2 ф2 + cos2 ф3 = 1.

Подробный ответ

Рассмотрим вектор $$\vec{OM}$$. Так как лучи $$OA$$, $$OB$$ и $$OC$$ попарно перпендикулярны, то их можно взять за оси прямоугольной системы координат. Тогда для вектора $$\vec{OM}$$ его проекции на эти оси равны

$$|\vec{OM}|\cos\varphi_1,\quad |\vec{OM}|\cos\varphi_2,\quad |\vec{OM}|\cos\varphi_3.$$

По формуле для длины вектора в прямоугольной системе координат имеем

$$|\vec{OM}|^2=x^2+y^2+z^2,$$

где $$x,y,z$$ — координаты вектора $$\vec{OM}$$. С другой стороны, эти координаты выражаются через направляющие косинусы:

$$x=|\vec{OM}|\cos\varphi_1,\quad y=|\vec{OM}|\cos\varphi_2,\quad z=|\vec{OM}|\cos\varphi_3.$$

Подставим в формулу длины:

$$ |\vec{OM}|^2=(|\vec{OM}|\cos\varphi_1)^2+(|\vec{OM}|\cos\varphi_2)^2+(|\vec{OM}|\cos\varphi_3)^2 $$

$$ |\vec{OM}|^2=|\vec{OM}|^2\left(\cos^2\varphi_1+\cos^2\varphi_2+\cos^2\varphi_3\right). $$

Так как $$|\vec{OM}|\neq 0$$, делим обе части на $$|\vec{OM}|^2$$:

$$\cos^2\varphi_1+\cos^2\varphi_2+\cos^2\varphi_3=1.$$