Упр.756 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В кубе $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ точка $$M$$ лежит на ребре $$BB_1$$, причём $$BM : MB_1 = 3 : 2$$, а точка $$N$$ лежит на ребре $$AD$$, причём $$AN : ND = 2 : 3$$. Вычислите синус угла между прямой $$MN$$ и плоскостью грани: а) $$DD_1C_1C$$; б) $$A_1B_1C_1D_1$$.

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $$D$$ и осями вдоль рёбер куба. Пусть ребро куба равно $$a$$. Тогда

$$D(0,0,0),\quad A(a,0,0),\quad B(a,a,0),\quad C(0,a,0),$$

$$D_1(0,0,a),\quad A_1(a,0,a),\quad B_1(a,a,a),\quad C_1(0,a,a).$$

Так как $$BM:MB_1=3:2$$, то

$$M\left(a,a,\frac{3a}{5}\right).$$

Так как $$AN:ND=2:3$$, то точка $$N$$ делит отрезок $$AD$$ в отношении $$2:3$$, считая от $$A$$, значит

$$N\left(\frac{3a}{5},0,0\right).$$

а) Угол между $$MN$$ и плоскостью $$DD_1C_1C$$

Плоскость $$DD_1C_1C$$ задаётся уравнением $$y=0$$, её нормаль направлена вдоль оси $$Oy$$. Поэтому синус угла между прямой и плоскостью равен косинусу угла между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости.

Найдём вектор $$\overrightarrow{MN}$$:

$$\overrightarrow{MN}=\left(\frac{3a}{5}-a,\;0-a,\;0-\frac{3a}{5}\right)=\left(-\frac{2a}{5},\,-a,\,-\frac{3a}{5}\right).$$

Тогда

$$|\overrightarrow{MN}|=\sqrt{\left(\frac{2a}{5}\right)^2+a^2+\left(\frac{3a}{5}\right)^2} =a\sqrt{\frac{4+25+9}{25}}=\frac{a\sqrt{38}}{5}.$$

Нормаль к плоскости $$DD_1C_1C$$ можно взять в виде $$\vec n=(0,1,0)$$. Тогда

$$\sin\angle(MN,DD_1C_1C)=\frac{|\overrightarrow{MN}\cdot \vec n|}{|\overrightarrow{MN}|\cdot |\vec n|} =\frac{a}{a\sqrt{38}/5} =\frac{5}{\sqrt{38}}.$$

б) Угол между $$MN$$ и плоскостью $$A_1B_1C_1D_1$$

Плоскость $$A_1B_1C_1D_1$$ имеет уравнение $$z=a$$, её нормаль направлена вдоль оси $$Oz$$. Поэтому

$$\sin\angle(MN,A_1B_1C_1D_1)=\frac{|\text{проекция }\overrightarrow{MN}\text{ на }Oz|}{|\overrightarrow{MN}|} =\frac{\frac{3a}{5}}{a\sqrt{38}/5} =\frac{3}{\sqrt{38}}.$$

Ответ: а) $$\frac{5}{\sqrt{38}}$$; б) $$\frac{3}{\sqrt{38}}$$.