Упр.755 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Проекция точки $$M$$ на плоскость ромба $$ABCD$$ совпадает с точкой $$O$$ пересечения его диагоналей. Точка $$N$$ — середина стороны $$BC$$, $$AC=8$$, $$DB=MO=6$$. Вычислите косинус угла между прямой $$MN$$ и прямой: а) $$BC$$; б) $$DC$$; в) $$AC$$; г) $$DB$$.

Найдём сторону ромба. Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, то

$$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{\left(\frac{AC}{2}\right)^2+\left(\frac{BD}{2}\right)^2} =\sqrt{4^2+3^2}=5.$$

Следовательно, $$BC=CD=5,$$ а также $$OB=OD=3,\quad OA=OC=4.$$

Пусть $$N$$ — середина $$BC$$. Тогда $$BN=CN=\frac{BC}{2}=\frac{5}{2}.$$

а) Угол между $$MN$$ и $$BC$$

Так как $$MO\perp (ABCD),$$ то $$MO\perp BC.$$ Поэтому

$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{ON}.$$

В треугольнике $$OBC$$ точка $$N$$ — середина стороны $$BC$$, значит $$ON$$ — медиана. Удобнее найти скалярное произведение:

$$\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{MN} =\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{MO}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{ON}.$$

Первое слагаемое равно $$0$$, а для второго используем, что $$\overrightarrow{ON}=\frac12(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$$. Тогда

$$\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{ON} =\frac12\bigl(\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{OC}\bigr).$$

Из треугольника $$OBC$$:

$$\cos \angle OBC=\frac{OB}{BC}=\frac35,\qquad \cos \angle OCB=\frac{OC}{BC}=\frac45.$$

Тогда

$$\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{OB}=|BC|\cdot |OB|\cos \angle CBO=5\cdot 3\cdot \frac35=9,$$

$$\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{OC}=|BC|\cdot |OC|\cos \angle BCO=5\cdot 4\cdot \frac45=16.$$

Значит,

$$\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{MN}=\frac12(9+16)=\frac{25}{2}.$$

Кроме того,

$$MN=\sqrt{MO^2+ON^2}=\sqrt{6^2+\left(\frac52\right)^2}=\frac{13}{2}.$$

Следовательно,

$$\cos \angle(MN,BC)=\frac{\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{MN}}{|BC|\cdot |MN|} =\frac{\frac{25}{2}}{5\cdot \frac{13}{2}}=\frac{5}{13}.$$

б) Угол между $$MN$$ и $$DC$$

Так как $$DC\parallel BC,$$ то искомый косинус равен косинусу угла между $$MN$$ и $$BC$$:

$$\cos \angle(MN,DC)=\frac{5}{13}.$$

в) Угол между $$MN$$ и $$AC$$

Поскольку $$AC\perp BD$$ и $$MO\perp (ABCD),$$ то $$AC\perp MO.$$ Кроме того, в ромбе диагональ $$AC$$ проходит через точку $$O$$, а потому

$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{ON}.$$

Найдём скалярное произведение $$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{MN}.$$ Так как $$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC},$$ то

$$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{MN} =\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{MO}+\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{ON}.$$

Первое слагаемое равно $$0$$. Далее

$$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{ON} =\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{ON}.$$

Из симметрии ромба получаем, что $$\overrightarrow{AO}\parallel \overrightarrow{ON}$$ и $$AO=4,\ ON=\frac52,$$ поэтому

$$\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{ON}=4\cdot \frac52=10,$$

а также $$\overrightarrow{OC}\parallel \overrightarrow{ON}$$ в противоположном направлении, значит

$$\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{ON}=-4\cdot \frac52=-10.$$

Итак,

$$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{MN}=0.$$

Следовательно,

$$\cos \angle(MN,AC)=0.$$

г) Угол между $$MN$$ и $$DB$$

Диагональ $$DB$$ перпендикулярна диагонали $$AC$$, а вектор $$\overrightarrow{MN}$$ лежит в плоскости, содержащей направление, симметричное относительно диагоналей ромба. Удобнее вычислить скалярное произведение через разложение:

$$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OB},\qquad \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{ON}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{DB}\cdot \overrightarrow{MN} =\overrightarrow{DO}\cdot \overrightarrow{MO} +\overrightarrow{DO}\cdot \overrightarrow{ON} +\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{MO} +\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{ON}.$$

Первые и третьи слагаемые равны $$0,$$ так как $$MO\perp (ABCD).$$ Остаётся

$$\overrightarrow{DB}\cdot \overrightarrow{MN} =\overrightarrow{DO}\cdot \overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{ON}.$$

Так как $$DO=OB=3,$$ а угол между $$DO$$ и $$ON$$ равен $$180^\circ-\angle OBC,$$ то

$$\overrightarrow{DO}\cdot \overrightarrow{ON} =3\cdot \frac52 \cos(180^\circ-\angle OBC) =-\frac{15}{2}\cdot \frac35=-\frac{9}{2}.$$

Аналогично

$$\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{ON} =3\cdot \frac52 \cos \angle OBC =\frac{15}{2}\cdot \frac35=\frac{9}{2}.$$

Значит,

$$\overrightarrow{DB}\cdot \overrightarrow{MN}=0,$$

и потому

$$\cos \angle(MN,DB)=0.$$

Ответ: а) $$\frac{5}{13}$$; б) $$\frac{5}{13}$$; в) $$0$$; г) $$0$$.