Упр.754 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ZBAA1 = ZBAD = ZDAA1 = 60°, AB =AA1 =AD = 1. Вычислите длины векторов AC1 и BD1.

Подробный ответ

Обозначим $$\vec{AB}=\vec{u},\quad \vec{AD}=\vec{v},\quad \vec{AA_1}=\vec{w}.$$ Тогда $$|\vec{u}|=|\vec{v}|=|\vec{w}|=1,$$ а углы между каждой парой этих векторов равны $$60^\circ.$$

Найдём сначала диагональ $$AC_1$$:

$$\vec{AC_1}=\vec{AB}+\vec{AD}+\vec{AA_1}=\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}.$$

Тогда

$$ |\vec{AC_1}|^2=(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w})^2 =|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2+|\vec{w}|^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+2\vec{u}\cdot\vec{w}+2\vec{v}\cdot\vec{w}. $$

Так как $$\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos 60^\circ=\frac12,$$ и аналогично для остальных пар, получаем

$$ |\vec{AC_1}|^2=1+1+1+2\cdot\frac12+2\cdot\frac12+2\cdot\frac12=6. $$

Значит,

$$|\vec{AC_1}|=\sqrt{6}.$$

Теперь найдём диагональ $$BD_1$$:

$$\vec{BD_1}=\vec{BA}+\vec{AD}+\vec{DD_1}=-\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}.$$

Тогда

$$ |\vec{BD_1}|^2=(-\vec{u}+\vec{v}+\vec{w})^2 =|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2+|\vec{w}|^2-2\vec{u}\cdot\vec{v}-2\vec{u}\cdot\vec{w}+2\vec{v}\cdot\vec{w}. $$

Подставляя $$\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{u}\cdot\vec{w}=\vec{v}\cdot\vec{w}=\frac12,$$ получаем

$$ |\vec{BD_1}|^2=1+1+1-2\cdot\frac12-2\cdot\frac12+2\cdot\frac12=2. $$

Следовательно,

$$|\vec{BD_1}|=\sqrt{2}.$$