Упр.754 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) $$\angle BAA_1=\angle BAD=\angle DAA_1=60^\circ$$, $$AB=AA_1=AD=1$$. Вычислите длины векторов $$\overrightarrow{AC_1}$$ и $$\overrightarrow{BD_1}$$.
Обозначим ребра параллелепипеда: $$\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AD},\ \overrightarrow{AA_1}.$$
Так как $$AB=AD=AA_1=1$$ и углы между ними равны $$60^\circ$$, то для вычислений удобно использовать разложение векторов по этим ребрам.
а) Найдём $$\left|\overrightarrow{AC_1}\right|$$
Имеем
$$\overrightarrow{AC_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}.$$
Тогда
$$\left|\overrightarrow{AC_1}\right|^2 = \left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}\right)^2$$
$$= |AB|^2+|AD|^2+|AA_1|^2 +2|AB|\cdot|AD|\cos 60^\circ +2|AB|\cdot|AA_1|\cos 60^\circ +2|AD|\cdot|AA_1|\cos 60^\circ.$$
Подставим значения:
$$\left|\overrightarrow{AC_1}\right|^2 = 1+1+1+2\cdot 1\cdot 1\cdot \frac12 +2\cdot 1\cdot 1\cdot \frac12 +2\cdot 1\cdot 1\cdot \frac12 =6.$$
Следовательно,
$$\left|\overrightarrow{AC_1}\right|=\sqrt{6}.$$
б) Найдём $$\left|\overrightarrow{BD_1}\right|$$
Запишем:
$$\overrightarrow{BD_1}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DD_1}.$$
Так как $$\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{DD_1}=\overrightarrow{AA_1},$$ то
$$\overrightarrow{BD_1}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}-\overrightarrow{AB}.$$
Тогда
$$\left|\overrightarrow{BD_1}\right|^2 = \left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}-\overrightarrow{AB}\right)^2$$
$$= |AD|^2+|AA_1|^2+|AB|^2 +2|AD|\cdot|AA_1|\cos 60^\circ -2|AD|\cdot|AB|\cos 60^\circ -2|AA_1|\cdot|AB|\cos 60^\circ.$$
Подставим:
$$\left|\overrightarrow{BD_1}\right|^2 = 1+1+1+2\cdot 1\cdot 1\cdot \frac12 -2\cdot 1\cdot 1\cdot \frac12 -2\cdot 1\cdot 1\cdot \frac12 =2.$$
Значит,
$$\left|\overrightarrow{BD_1}\right|=\sqrt{2}.$$
Ответ: $$\left|\overrightarrow{AC_1}\right|=\sqrt{6},\quad \left|\overrightarrow{BD_1}\right|=\sqrt{2}.$$
