Упр.753 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В кубе $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ точка $$M$$ — центр грани $$BB_1C_1C$$. Вычислите угол между векторами: а) $$\overrightarrow{A_1D}$$ и $$\overrightarrow{AM}$$; б) $$\overrightarrow{MD}$$ и $$\overrightarrow{BB_1}$$.

Подробный ответ

Введём систему координат с началом в точке $$D$$ и обозначим ребро куба через $$a$$. Тогда координаты вершин можно выбрать так:

$$D(0,0,0),\quad A(a,0,0),\quad B(a,a,0),\quad C(0,a,0),$$

$$A_1(a,0,a),\quad B_1(a,a,a),\quad C_1(0,a,a).$$

Точка $$M$$ — центр грани $$BB_1C_1C$$, значит

$$M\left(\frac a2,\ a,\ \frac a2\right).$$

а)

Найдём векторы:

$$\overrightarrow{A_1D}=D-A_1=(-a,0,-a),$$

$$\overrightarrow{AM}=M-A=\left(-\frac a2,\ a,\ \frac a2\right).$$

Скалярное произведение этих векторов:

$$\overrightarrow{A_1D}\cdot \overrightarrow{AM}=(-a)\left(-\frac a2\right)+0\cdot a+(-a)\left(\frac a2\right)=\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{2}=0.$$

Следовательно, векторы перпендикулярны, значит

$$\angle\left(\overrightarrow{A_1D},\overrightarrow{AM}\right)=90^\circ.$$

б)

Найдём векторы:

$$\overrightarrow{MD}=D-M=\left(-\frac a2,-a,-\frac a2\right),$$

$$\overrightarrow{BB_1}=B_1-B=(0,0,a).$$

Тогда

$$\overrightarrow{MD}\cdot \overrightarrow{BB_1}=\left(-\frac a2\right)\cdot 0+(-a)\cdot 0+\left(-\frac a2\right)\cdot a=-\frac{a^2}{2}.$$

Длины векторов:

$$|\overrightarrow{MD}|=\sqrt{\left(\frac a2\right)^2+a^2+\left(\frac a2\right)^2}=a\sqrt{\frac32},$$

$$|\overrightarrow{BB_1}|=a.$$

Тогда

$$\cos \varphi=\frac{\overrightarrow{MD}\cdot \overrightarrow{BB_1}}{|\overrightarrow{MD}|\cdot |\overrightarrow{BB_1}|}=\frac{-\frac{a^2}{2}}{a\sqrt{\frac32}\cdot a}=-\frac{1}{\sqrt6}.$$

Следовательно,

$$\varphi=\arccos\left(-\frac{1}{\sqrt6}\right)\approx 114^\circ.$$

Ответ: а) $$90^\circ$$; б) $$\arccos\left(-\frac{1}{\sqrt6}\right)\approx 114^\circ$$.