Упр.752 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Вычислите косинус угла между прямыми $$AB$$ и $$CD$$, если: а) $$A(7; -8; 15),\ B(8; -7; 13),\ C(2; -3; 5),\ D(-1; 0; 4)$$; б) $$A(8; -2; 3),\ B(3; -1; 4),\ C(5; -2; 0),\ D(7; 0; -2)$$.

Найдём направляющие векторы прямых.

а) $$\overrightarrow{AB}=(8-7,\,-7-(-8),\,13-15)=(1,1,-2),$$ $$\overrightarrow{CD}=(-1-2,\,0-(-3),\,4-5)=(-3,3,-1).$$

Тогда

$$\cos\angle(AB,CD)=\frac{\left|\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}\right|}{|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{CD}|}.$$

Скалярное произведение:

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=1\cdot(-3)+1\cdot 3+(-2)\cdot(-1)=2.$$

Длины векторов:

$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt6,$$ $$|\overrightarrow{CD}|=\sqrt{(-3)^2+3^2+(-1)^2}=\sqrt{19}.$$

Следовательно,

$$\cos\angle(AB,CD)=\frac{2}{\sqrt6\cdot\sqrt{19}}=\frac{2}{\sqrt{114}}.$$

б) $$\overrightarrow{AB}=(3-8,\,-1-(-2),\,4-3)=(-5,1,1),$$ $$\overrightarrow{CD}=(7-5,\,0-(-2),\,-2-0)=(2,2,-2).$$

Тогда

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=(-5)\cdot2+1\cdot2+1\cdot(-2)=-10.$$

Берём модуль, так как угол между прямыми не превосходит $$90^\circ$$:

$$\left|\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}\right|=10.$$

Длины векторов:

$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-5)^2+1^2+1^2}=\sqrt{27}=3\sqrt3,$$ $$|\overrightarrow{CD}|=\sqrt{2^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{12}=2\sqrt3.$$

Следовательно,

$$\cos\angle(AB,CD)=\frac{10}{3\sqrt3\cdot2\sqrt3}=\frac{10}{18}=\frac59.$$

Ответ

а) $$\frac{2}{\sqrt{114}}$$; б) $$\frac59$$.