Упр.751 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Все рёбра тетраэдра $$ABCD$$ равны друг другу, $$D_1$$ — проекция точки $$D$$ на плоскость $$ABC$$. Перпендикулярны ли векторы: а) $$\overrightarrow{D_1B}$$ и $$\overrightarrow{D_1D}$$; б) $$\overrightarrow{DD_1}$$ и $$\overrightarrow{BC}$$; в) $$\overrightarrow{DA}$$ и $$\overrightarrow{BC}$$; г) $$\overrightarrow{D_1B}$$ и $$\overrightarrow{DC}$$?
Так как $$D_1$$ — проекция точки $$D$$ на плоскость $$ABC$$, то $$DD_1 \perp (ABC)$$, а значит, $$DD_1$$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $$ABC$$.
а) Векторы $$\overrightarrow{D_1B}$$ и $$\overrightarrow{D_1D}$$ направлены вдоль прямых $$D_1B$$ и $$D_1D$$. Поскольку $$D_1B \subset (ABC)$$, а $$D_1D \perp (ABC)$$, то
$$D_1B \perp D_1D.$$
Следовательно, $$\overrightarrow{D_1B} \perp \overrightarrow{D_1D}$$.
б) Вектор $$\overrightarrow{DD_1}$$ направлен вдоль прямой $$DD_1$$, поэтому
$$DD_1 \perp BC,$$
так как $$BC \subset (ABC)$$. Значит, $$\overrightarrow{DD_1} \perp \overrightarrow{BC}$$.
в) В правильном тетраэдре вершина $$D$$ проектируется в центр равностороннего треугольника $$ABC$$. Тогда прямая $$DD_1$$ проходит через центр треугольника и его высоту, а значит, лежит в плоскости, содержащей медиану (высоту) треугольника $$ABC$$. В равностороннем треугольнике медиана является высотой, поэтому
$$DA \not\perp BC.$$
Следовательно, $$\overrightarrow{DA}$$ и $$\overrightarrow{BC}$$ не перпендикулярны.
г) Если бы $$\overrightarrow{D_1B} \perp \overrightarrow{DC}$$, то по теореме, обратной теореме о трёх перпендикулярах, было бы $$D_1B \perp DC$$. Но прямая $$D_1B$$ лежит в плоскости правильного треугольника $$ABC$$ и является одной из прямых, содержащих медиану этого треугольника; прямая $$DC$$ также не перпендикулярна ей. Значит, $$\overrightarrow{D_1B}$$ и $$\overrightarrow{DC}$$ не перпендикулярны.
Ответ: а) да; б) да; в) нет; г) нет.
