Упр.750 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В тетраэдре $$DABC$$ $$DA=DB=DC$$, $$\angle ADB=45^\circ$$, $$\angle BDC=60^\circ$$. Вычислите угол между векторами: а) $$\overrightarrow{DA}$$ и $$\overrightarrow{BD}$$; б) $$\overrightarrow{DB}$$ и $$\overrightarrow{CB}$$; в) $$\overrightarrow{BD}$$ и $$\overrightarrow{BA}$$.

Рассмотрим углы между соответствующими векторами.

1. $$\angle(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{BD})=\angle ADB=45^\circ.$$

   Так как $$\overrightarrow{DB}=-\overrightarrow{BD},$$ то

   $$\angle(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB})=180^\circ-45^\circ=135^\circ.$$

2. Рассмотрим треугольник $$DBC.$$

   По условию $$DB=DC,$$ значит, треугольник $$DBC$$ равнобедренный, поэтому

   $$\angle DBC=\angle DCB.$$

   Так как $$\angle BDC=60^\circ,$$ то

   $$\angle DBC+\angle DCB=180^\circ-60^\circ=120^\circ.$$

   Следовательно,

   $$\angle DBC=\angle DCB=60^\circ.$$

   Угол между $$\overrightarrow{DB}$$ и $$\overrightarrow{CB}$$ равен $$\angle DBC=60^\circ.$$

3. Рассмотрим треугольник $$DBA.$$ Он равнобедренный, так как $$DA=DB.$$

   Тогда

   $$\angle DAB=\angle DBA=\frac{180^\circ-\angle ADB}{2} =\frac{180^\circ-45^\circ}{2} =67^\circ 30′.$$

   Следовательно, угол между $$\overrightarrow{BD}$$ и $$\overrightarrow{BA}$$ равен $$67^\circ 30′.$$

Ответ: а) $$135^\circ$$; б) $$60^\circ$$; в) $$67^\circ 30′.$$