Упр.75 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Изобразите тетраэдр KLMN. а) Постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через реб- ро KL и серединуА ребра MN. б) Докажите, что плоскость, проходящая через середины E, O и F отрезков LM, MA и MK, параллельна плоскости LKA. Найдите площадь треугольника EOF, если площадь треугольника LKA равна 24 см2.
а) Пусть $A$ — середина ребра $MN$. Тогда плоскость, проходящая через ребро $KL$ и точку $A$, пересекает грани тетраэдра по отрезкам $KA$ и $LA$. Следовательно, сечение — треугольник $KLA$.
б) Точки $E$, $O$, $F$ — середины отрезков $LM$, $MA$ и $MK$ соответственно.
В треугольнике $LMA$ отрезок $EO$ — средняя линия, значит
$$EO \parallel LA,\qquad EO=\frac12 LA.$$
В треугольнике $MAK$ отрезок $OF$ — средняя линия, значит
$$OF \parallel AK,\qquad OF=\frac12 AK.$$
В треугольнике $MLK$ отрезок $EF$ — средняя линия, значит
$$EF \parallel KL,\qquad EF=\frac12 KL.$$
Так как в плоскости $EOF$ лежат прямые, соответственно параллельные $LA$, $AK$ и $KL$, то плоскость $EOF$ параллельна плоскости $LKA$.
Треугольники $EOF$ и $LKA$ подобны, причём коэффициент подобия равен
$$k=\frac12.$$
Площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициента подобия:
$$ \frac{S_{EOF}}{S_{LKA}}=k^2=\left(\frac12\right)^2=\frac14. $$
Тогда
$$ S_{EOF}=S_{LKA}\cdot \frac14=24\cdot \frac14=6\ \text{см}^2. $$
Ответ
а) Сечение — треугольник $KLA$.
б) $S_{EOF}=6\ \text{см}^2$.