Упр.75 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. б) Докажите, что плоскость, проходящая через середины $$E$$, $$O$$ и $$F$$ отрезков $$LM$$, $$MA$$ и $$MK$$, параллельна плоскости $$LKA$$. Найдите площадь треугольника $$EOF$$, если площадь треугольника $$LKA$$ равна $$24\ \text{см}^2$$.

Пусть $$A$$ — середина ребра $$MN$$.

Рассмотрим треугольники $$KLM$$, $$KMA$$ и $$LMA$$. Так как $$E$$, $$O$$ и $$F$$ — середины отрезков $$LM$$, $$MA$$ и $$MK$$, то по теореме о средней линии:

• $$EF \parallel KA$$ в треугольнике $$KLM$$;
• $$OF \parallel KL$$ в треугольнике $$KMA$$;
• $$EO \parallel LA$$ в треугольнике $$LMA$$.

Следовательно, стороны треугольника $$EOF$$ соответственно параллельны сторонам треугольника $$KLA$$, значит, плоскости $$EOF$$ и $$KLA$$ параллельны.

Треугольники $$EOF$$ и $$KLA$$ подобны, причём коэффициент подобия равен $$\frac{1}{2}$$, так как каждая сторона малого треугольника вдвое меньше соответствующей стороны большого.

Тогда отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{EOF}}{S_{KLA}}=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$$

$$S_{EOF}=S_{KLA}\cdot \frac{1}{4}=24\cdot \frac{1}{4}=6$$

Ответ: $$6\text{ см}^2$$.