Упр.749 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны векторы $$\vec{a}=\{-1; 5; 3\}$$, $$\vec{b}=\{3; 0; 2\}$$, $$\vec{c}=\{0,5; -3; 4\}$$ и $$\vec{d}=\{2; 1; 0\}$$. Вычислите: а) $$\vec{a}\vec{b}$$; б) $$\vec{a}\vec{c}$$; в) $$\vec{d}\vec{d}$$; г) $$(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\vec{d}$$; д) $$(\vec{a}-\vec{b})(\vec{c}-\vec{d})$$.

Скалярное произведение векторов находим по формуле

$$\vec x\cdot \vec y=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3.$$

Пусть $$\vec a=(-1;5;3),\ \vec b=(3;0;2),\ \vec c=(0{,}5;-3;4),\ \vec d=(2;1;0).$$

1. $$\vec a\cdot \vec b=(-1)\cdot 3+5\cdot 0+3\cdot 2=-3+0+6=3.$$

2. $$\vec a\cdot \vec c=(-1)\cdot 0{,}5+5\cdot(-3)+3\cdot 4=-0{,}5-15+12=-3{,}5.$$

3. $$\vec d\cdot \vec d=2^2+1^2+0^2=4+1=5.$$

4. Сначала найдём сумму векторов:

   $$\vec a+\vec b+\vec c=(-1+3+0{,}5;\ 5+0-3;\ 3+2+4)=(2{,}5;2;9).$$

   Тогда

   $$(\vec a+\vec b+\vec c)\cdot \vec d =2{,}5\cdot 2+2\cdot 1+9\cdot 0 =5+2=7.$$

5. Найдём разности:

   $$\vec a-\vec b=(-1-3;\ 5-0;\ 3-2)=(-4;5;1),$$

   $$\vec c-\vec d=(0{,}5-2;\ -3-1;\ 4-0)=(-1{,}5;-4;4).$$

   Тогда

   $$(\vec a-\vec b)\cdot(\vec c-\vec d) =(-4)\cdot(-1{,}5)+5\cdot(-4)+1\cdot 4 =6-20+4=-10.$$

Ответ: а) $$3$$; б) $$-3{,}5$$; в) $$5$$; г) $$7$$; д) $$-10$$.