Упр.748 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что медианы тетраэдра пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 3 : 1, считая от вершины.
Пусть $$E_1,E_2,E_3,E_4$$ — середины рёбер $$BC,\,AD,\,AB,\,DC$$ соответственно. Тогда $$E_2E_3$$ и $$E_1E_4$$ — средние линии граней $$ABD$$ и $$BCD$$, поэтому
$$E_2E_3=E_1E_4=\frac{DB}{2}.$$
Обозначим через $$O$$ точку пересечения медиан треугольника $$E_1E_2E_3E_4$$. Тогда в треугольнике $$E_1E_2E_4$$ точка $$O$$ — середина отрезка, соединяющего середины двух сторон, а значит, $$O$$ лежит на медиане тетраэдра, проведённой из вершины $$D$$.
Докажем это векторно. Так как $$E_2$$ и $$E_1$$ — середины рёбер $$AD$$ и $$BC$$, то
$$\overrightarrow{DE_2}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}, \qquad \overrightarrow{E_2E_1}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AB}\right).$$
Следовательно,
$$\overrightarrow{DO} =\overrightarrow{DE_2}+\overrightarrow{E_2O} =\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{E_2E_1} =\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}+\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AB}\right).$$
С другой стороны, если $$M$$ — точка пересечения медиан грани $$ABC$$, то
$$\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AE_1}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right),$$
откуда
$$\overrightarrow{DM} =\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AM} =\overrightarrow{DA}+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right) =\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}\right).$$
После преобразований получаем
$$\overrightarrow{DO}=\frac{3}{4}\overrightarrow{DM}.$$
Значит, точка $$O$$ лежит на медиане $$DM$$ и делит её в отношении
$$DO:OM=3:1.$$
Аналогично доказывается, что та же точка лежит и на остальных медианах тетраэдра. Следовательно, все медианы тетраэдра пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении $$3:1$$, считая от вершины.
