Упр.748 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Медианой тетраэдра называется отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани. Докажите, что медианы тетраэдра пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 3 : 1, считая от вершины.

Обозначим через $$E_1, E_2, E_3, E_4$$ середины рёбер $$BC, AD, AB, DC$$ соответственно, а через $$O$$ — точку пересечения медиан грани $$ABD$$. Тогда $$E_2E_3$$ и $$E_1E_4$$ — средние линии треугольников $$ABD$$ и $$DBC$$, поэтому

$$E_2E_3=\frac{DB}{2}, \qquad E_1E_4=\frac{DB}{2}.$$

Кроме того, в треугольнике $$E_1E_2E_4$$ отрезок $$OE_2$$ является медианой, а в треугольнике $$E_2E_3E_4$$ отрезок $$OE_3$$ — тоже медиана. Так как $$OE_2=OE_1$$, то

$$E_4O=E_4E_1+E_1O=\frac{DB}{2}+E_1O,$$

$$OE_3=OE_2+E_2E_3=OE_2+\frac{DB}{2}.$$

Следовательно, $$E_4O=OE_3$$, значит, точка $$O$$ — середина отрезка $$E_3E_4$$.

Теперь найдём вектор $$\overrightarrow{DO}$$:

$$\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{DE_2}+\overrightarrow{E_2O}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{E_2E_1}.$$

Так как $$E_2E_1$$ — средняя линия треугольника $$DBC$$, то

$$\overrightarrow{E_2E_1}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AB}\right).$$

Тогда

$$ \overrightarrow{DO} =\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{DC}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}. $$

Но для медианы $$DM$$ грани $$ABC$$, где $$M$$ — середина $$AC$$, имеем

$$\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{DA}+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).$$

Поскольку $$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}$$, получаем

$$ \overrightarrow{DM} =\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}\right). $$

С другой стороны, из предыдущего выражения для $$\overrightarrow{DO}$$ также следует

$$ \overrightarrow{DO} =\frac{3}{4}\overrightarrow{DM}. $$

Значит, точка $$O$$ лежит на медиане $$DM$$ и делит её в отношении

$$ DO:OM=\frac{3}{4}DM:\frac{1}{4}DM=3:1. $$

Аналогично доказывается, что та же точка лежит и на остальных медианах тетраэдра, деля каждую из них в отношении $$3:1$$, считая от вершины.

Ответ

Медианы тетраэдра пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении $$3:1$$, считая от вершины.