Упр.744 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите координаты центра окружности, описанной около треугольника с вершинами A (0; 2; 2), B (2; 1; 1), C (2; 2; 2).

Подробный ответ

Обозначим центр описанной окружности через $$O(x,y,z)$$. Тогда он равноудалён от вершин треугольника, то есть

$$AO=BO=CO.$$

Найдём сначала вид треугольника.

Векторы

$$\overrightarrow{AB}=(2,-1,-1),\quad \overrightarrow{AC}=(2,0,0),\quad \overrightarrow{BC}=(0,1,1).$$

Скалярное произведение

$$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC}=2\cdot 0+0\cdot 1+0\cdot 1=0,$$

значит, $$\angle ACB=90^\circ$$, то есть треугольник $$ABC$$ прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности — середина гипотенузы. Следовательно, точка $$O$$ является серединой отрезка $$AB$$.

Найдём координаты середины отрезка $$AB$$:

$$x=\frac{0+2}{2}=1,$$