Упр.744 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Найдите координаты центра окружности, описанной около треугольника с вершинами $$A(0; 2; 2)$$, $$B(2; 1; 1)$$, $$C(2; 2; 2)$$.

Подробный ответ

Так как точка $$O(x,y,z)$$ — центр окружности, описанной около треугольника $$ABC$$, то она равноудалена от всех его вершин:

$$OA=OB=OC.$$

Найдём координаты центра окружности.

Сначала сравним $$OA$$ и $$OC$$. У точек $$A(0;2;2)$$ и $$C(2;2;2)$$ одинаковые координаты $$y$$ и $$z$$, поэтому:

$$\sqrt{x^2+(y-2)^2+(z-2)^2}=\sqrt{(x-2)^2+(y-2)^2+(z-2)^2}.$$

После возведения в квадрат получаем:

$$x^2=(x-2)^2,$$

$$x^2=x^2-4x+4,$$

$$4x=4,$$

$$x=1.$$

Теперь сравним $$OB$$ и $$OC$$:

$$\sqrt{(x-2)^2+(y-1)^2+(z-1)^2}=\sqrt{(x-2)^2+(y-2)^2+(z-2)^2}.$$

Подставим $$x=1$$ и возведём в квадрат:

$$(y-1)^2+(z-1)^2=(y-2)^2+(z-2)^2,$$

$$y^2-2y+1+z^2-2z+1=y^2-4y+4+z^2-4z+4,$$

$$2y+2z=6,$$

$$y+z=3.$$

Так как центр окружности лежит в плоскости треугольника $$ABC$$, а у всех трёх вершин координаты $$z$$ равны $$2,1,2$$, получаем для точки $$O$$ значение $$z=y$$. Тогда из равенства $$y+z=3$$ имеем:

$$2y=3,$$

$$y=\frac{3}{2}, \qquad z=\frac{3}{2}.$$

Следовательно, центр описанной окружности:

$$O\left(1;\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right).$$

Ответ: $$O\left(1;\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right).$$