Упр.743 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Ha оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек A (13; 2; -1) и B (-15; 7; -18).

Подробный ответ

Искомая точка лежит на оси ординат, значит её координаты имеют вид $$D(0;y;0).$$

Так как точка $$D$$ равноудалена от точек $$A(13;2;-1)$$ и $$B(-15;7;-18),$$ то

$$DA=DB.$$

По формуле расстояния между точками в пространстве получаем:

$$ DA=\sqrt{(13-0)^2+(2-y)^2+(-1-0)^2}=\sqrt{169+(2-y)^2+1} $$
$$ DA=\sqrt{(2-y)^2+170} $$

$$ DB=\sqrt{(-15-0)^2+(7-y)^2+(-18-0)^2}=\sqrt{225+(7-y)^2+324} $$
$$ DB=\sqrt{(7-y)^2+549} $$

Составим уравнение:

$$ \sqrt{(2-y)^2+170}=\sqrt{(7-y)^2+549} $$
$$ (2-y)^2+170=(7-y)^2+549 $$
$$ y^2-4y+4+170=y^2-14y+49+549 $$
$$ -4y+174=-14y+598 $$
$$ 10y=424 $$
$$ y=42{,}4 $$

Следовательно, искомая точка:

$$D(0;42{,}4;0).$$