Упр.743 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. На оси ординат найдите точку, равноудалённую от точек $$A(13; 2; -1)$$ и $$B(-15; 7; -18)$$.

Обозначим искомую точку через $$D(0;y;0),$$ так как она лежит на оси ординат.

По условию $$DA=DB.$$ Тогда по формуле расстояния между точками в пространстве получаем:

$$DA=\sqrt{(13-0)^2+(2-y)^2+(-1-0)^2}=\sqrt{169+(2-y)^2+1}=\sqrt{170+(2-y)^2},$$
$$DB=\sqrt{(-15-0)^2+(7-y)^2+(-18-0)^2}=\sqrt{225+(7-y)^2+324}=\sqrt{549+(7-y)^2}.$$

Приравняем расстояния:

$$\sqrt{170+(2-y)^2}=\sqrt{549+(7-y)^2}.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$170+(2-y)^2=549+(7-y)^2.$$

Раскроем скобки:

$$170+y^2-4y+4=549+y^2-14y+49.$$

Сократим $$y^2$$ и перенесём слагаемые:

$$174-4y=598-14y,$$
$$10y=424,$$
$$y=42{,}4.$$

Следовательно, искомая точка:

$$D(0;42{,}4;0).$$

Ответ: $$D(0;42{,}4;0).$$