Упр.74 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Через точку пересечения медиан грани BCD тетраэдра ABCD проведена плоскость, параллельная грани ABC. а) Докажите, что сечение тетраэдра этой плоскостью есть треугольник, подобный треугольнику ABC. б) Найдите отношение площадей сечения и треугольника ABC.
Пусть плоскость сечения пересекает рёбра $$BC,$$ $$CD,$$ $$BD$$ в точках $$M,$$ $$N,$$ $$P$$ соответственно. Тогда в треугольнике $$BCD$$ точка $$O$$ — точка пересечения медиан, значит, $$O$$ лежит на медианах и делит их в отношении $$2:1$$, считая от вершины.
Через точку $$O$$ проведём в плоскости сечения прямую $$MN$$, параллельную ребру $$BC$$, а затем в треугольнике $$ACD$$ через точку $$N$$ проведём прямую $$NP$$, параллельную ребру $$AC$$. Тогда по признаку параллельности плоскостей плоскость $$MNP$$ параллельна плоскости $$ABC$$.
Так как $$MN \parallel BC$$ и $$NP \parallel AC,$$ то
$$\angle MNP=\angle BCA,\qquad \angle MPN=\angle BAC,\qquad \angle NMP=\angle ABC.$$
Следовательно,
$$\triangle MNP \sim \triangle ABC.$$
Найдём коэффициент подобия. В треугольнике $$BCD$$ прямая, проходящая через точку пересечения медиан и параллельная стороне $$BC,$$ отсекает на медианах отрезки, равные $$\frac{2}{3}$$ соответствующих медиан. Поэтому
$$\frac{MN}{BC}=\frac{2}{3}.$$
Значит, коэффициент подобия треугольников $$MNP$$ и $$ABC$$ равен $$k=\frac{2}{3}.$$ Тогда отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия:
$$\frac{S_{MNP}}{S_{ABC}}=k^2=\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}.$$
Ответ: а) $$\triangle MNP \sim \triangle ABC$$; б) $$\dfrac{S_{MNP}}{S_{ABC}}=\dfrac{4}{9}.$$
