Упр.74 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Через точку пересечения медиан грани BCD тетраэдра ABCD проведена плоскость, параллельная грани ABC. а) Докажите, что сечение тетраэдра этой плоскостью есть треугольник, подобный треугольнику ABC. б) Найдите отношение площадей сечения и треугольника ABC.

Подробный ответ

Пусть плоскость проходит через точку пересечения медиан треугольника $$BCD$$ и параллельна грани $$ABC$$. Обозначим точки пересечения этой плоскости с рёбрами $$AC$$, $$AD$$ и $$CD$$ через $$P$$, $$Q$$ и $$R$$ соответственно.

Так как плоскость $$PQR$$ параллельна плоскости $$ABC$$, то в тетраэдре получаем:

$$PQ \parallel AC,\quad PR \parallel AB,\quad QR \parallel BC.$$

Следовательно, соответствующие углы треугольников $$PQR$$ и $$ABC$$ равны, значит,

$$\triangle PQR \sim \triangle ABC.$$

Найдём коэффициент подобия. В треугольнике $$BCD$$ точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины. Поэтому прямая, проведённая через эту точку параллельно стороне $$BC$$, отсекает на медианах отрезки, равные $$\frac{2}{3}$$ соответствующих сторон. Отсюда

$$\frac{QR}{BC}=\frac{2}{3}.$$

Значит, коэффициент подобия треугольников $$PQR$$ и $$ABC$$ равен

$$k=\frac{2}{3}.$$

Тогда отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{PQR}}{S_{ABC}}=k^2=\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}.$$