Упр.739 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите координаты единичных векторов, сонаправленных соответственно с векторами $$\vec a=\{2;1;-2\}$$ и $$\vec b=\{1;3;0\}$$.

Пусть искомый единичный вектор, сонаправленный с $$\vec a=(2;1;-2),$$ имеет координаты $$\vec e=(x;y;z).$$

Так как векторы сонаправлены, их координаты пропорциональны:

$$\frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z}{-2}.$$

Обозначим это отношение через $$t$$. Тогда

$$x=2t,\quad y=t,\quad z=-2t.$$

Так как $$\vec e$$ — единичный вектор, то

$$|\vec e|=1,$$

то есть

$$\sqrt{x^2+y^2+z^2}=1.$$

Подставим выражения для координат:

$$\sqrt{(2t)^2+t^2+(-2t)^2}=1,$$

$$\sqrt{4t^2+t^2+4t^2}=1,$$

$$\sqrt{9t^2}=1,$$

$$3|t|=1,$$

откуда $$|t|=\frac13.$$

Так как вектор $$\vec e$$ сонаправлен с $$\vec a,$$ берём $$t>0$$, значит $$t=\frac13.$$ Тогда

$$\vec e=\left(\frac23;\frac13;-\frac23\right).$$

Аналогично для вектора $$\vec b=(1;3;0)$$ пусть

$$\vec e=(x;y;z).$$

Из сонаправленности получаем

$$\frac{x}{1}=\frac{y}{3},\qquad z=0,$$

то есть

$$y=3x,\quad z=0.$$

Так как $$\vec e$$ — единичный, то

$$\sqrt{x^2+y^2+z^2}=1.$$

Подставим:

$$\sqrt{x^2+(3x)^2}=1,$$

$$\sqrt{10x^2}=1,$$

$$\sqrt{10}\,|x|=1,$$

откуда $$x=\frac{1}{\sqrt{10}}$$, а значит

$$y=\frac{3}{\sqrt{10}},\quad z=0.$$

Следовательно, искомый вектор:

$$\vec e=\left(\frac{1}{\sqrt{10}};\frac{3}{\sqrt{10}};0\right).$$

Ответ: $$\left(\frac23;\frac13;-\frac23\right),\ \left(\frac{1}{\sqrt{10}};\frac{3}{\sqrt{10}};0\right).$$