Упр.737 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны координаты четырех вершин параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$: $$A(3; 0; 2),\ B(2; 4; 5),\ A_1(5; 3; 1),\ D(7; 1; 2)$$. Найдите координаты остальных вершин.

Так как все грани параллелепипеда — параллелограммы, то противоположные рёбра равны и параллельны. Поэтому соответствующие векторы равны.

Найдём вектор $$\overrightarrow{AA_1}$$:

$$\overrightarrow{AA_1}=(5-3,\;3-0,\;1-2)=(2,3,-1).$$

Тогда координаты вершины $$B_1$$ находим из равенства $$\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{AA_1}$$:

$$B_1=(2+2,\;4+3,\;5-1)=(4,7,4).$$

Аналогично, так как $$\overrightarrow{DD_1}=\overrightarrow{AA_1}$$, получаем:

$$D_1=(7+2,\;1+3,\;2-1)=(9,4,1).$$

Найдём вершину $$C$$ из равенства $$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$$:

$$\overrightarrow{AD}=(7-3,\;1-0,\;2-2)=(4,1,0),$$

значит

$$C=(2+4,\;4+1,\;5+0)=(6,5,5).$$

Теперь найдём $$C_1$$, используя $$\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{AA_1}$$:

$$C_1=(6+2,\;5+3,\;5-1)=(8,8,4).$$

Итак, координаты остальных вершин параллелепипеда:

$$B_1(4,7,4),\quad C(6,5,5),\quad D_1(9,4,1),\quad C_1(8,8,4).$$