Упр.735 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Даны точки $$A(3; 5; 4)$$, $$B(4; 6; 5)$$, $$C(6; -2; 1)$$ и $$D(5; -3; 0)$$. Докажите, что $$ABCD$$ — параллелограмм.

Найдём векторы сторон четырёхугольника:

$$\overrightarrow{AB}=(4-3,\;6-5,\;5-4)=(1,1,1),$$
$$\overrightarrow{CD}=(5-6,\;-3-(-2),\;0-1)=(-1,-1,-1),$$
$$\overrightarrow{AD}=(5-3,\;-3-5,\;0-4)=(2,-8,-4),$$
$$\overrightarrow{BC}=(6-4,\;-2-6,\;1-5)=(2,-8,-4).$$

Получаем, что $$\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD},$$ значит, прямые $$AB$$ и $$CD$$ параллельны. Кроме того, $$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC},$$ значит, прямые $$AD$$ и $$BC$$ тоже параллельны.

Итак, обе пары противоположных сторон параллельны, следовательно, $$ABCD$$ — параллелограмм.

Ответ: $$ABCD$$ — параллелограмм.