Упр.734 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Компланарны ли векторы: а) $$a\{-1; 2; 3\}$$, $$i+j$$ и $$i-k$$; б) $$b\{2; 1; 1{,}5\}$$, $$i+j+k$$ и $$i-j$$; в) $$a\{1; 1; 1\}$$, $$b\{1; -1; 2\}$$ и $$c\{2; 3; -1\}$$?

Подробный ответ

Проверим компланарность по смешанному произведению: три вектора компланарны тогда и только тогда, когда оно равно нулю.

а) $$\vec a=(-1,2,3),\quad \vec b=\vec i+\vec j=(1,1,0),\quad \vec c=\vec i-\vec k=(1,0,-1).$$

Вычислим определитель:

$$\begin{vmatrix} -1 & 2 & 3\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = -1\cdot(1\cdot(-1)-0\cdot 0)-2\cdot(1\cdot(-1)-0\cdot 1)+3\cdot(1\cdot 0-1\cdot 1) =1+2-3=0.$$

Следовательно, векторы компланарны.

б) $$\vec b=(2,1,1{,}5),\quad \vec c=\vec i+\vec j+\vec k=(1,1,1),\quad \vec d=\vec i-\vec j=(1,-1,0).$$

Вычислим определитель:

$$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1{,}5\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} =2\cdot(1\cdot 0-1\cdot(-1))-1\cdot(1\cdot 0-1\cdot 1)+1{,}5\cdot(1\cdot(-1)-1\cdot 1) =2+1-3=0.$$

Значит, векторы компланарны.

в) $$\vec a=(1,1,1),\quad \vec b=(1,-1,2),\quad \vec c=(2,3,-1).$$

Найдём смешанное произведение:

$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 2\\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix} =1\cdot((-1)\cdot(-1)-2\cdot 3)-1\cdot(1\cdot(-1)-2\cdot 2)+1\cdot(1\cdot 3-(-1)\cdot 2) =-5+5+5=5\neq 0.$$

Следовательно, эти векторы не компланарны.