Упр.730 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что при движении: а) окружность отображается на окружность того же радиуса; б) прямоугольный параллелепипед отображается на прямоугольный параллелепипед с теми же измерениями.

При движении сохраняются расстояния и углы.

а)

Пусть окружность имеет центр $$O$$ и радиус $$R$$. Тогда для любой точки $$A$$ этой окружности выполняется $$OA=R$$.

При движении точка $$O$$ переходит в точку $$O_1$$, а точка $$A$$ — в точку $$A_1$$. Так как движение сохраняет расстояния, то

$$O_1A_1=OA=R.$$

Значит, образ любой точки окружности находится на расстоянии $$R$$ от точки $$O_1$$. Следовательно, образ окружности есть геометрическое место точек, равноудалённых от $$O_1$$ на расстояние $$R$$, то есть окружность того же радиуса.

б)

Пусть дан прямоугольный параллелепипед с рёбрами $$a$$, $$b$$ и $$c$$. При движении каждая вершина переходит в соответствующую вершину, а все рёбра — в равные им отрезки, так как движение сохраняет длины.

Кроме того, все прямые углы между рёбрами сохраняются, поскольку движение сохраняет величины углов. Значит, образ фигуры имеет те же три взаимно перпендикулярных ребра той же длины.

Следовательно, образ прямоугольного параллелепипеда при движении снова является прямоугольным параллелепипедом с теми же измерениями.