Упр.73 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B тетраэдре ABCD точки M, N и P являются серединами ребер AB, BC и CD, AC = 10 см, BD = 12 см. Докажите, что плоскость MNP проходит через середину K ребра AD, и найдите периметр четырехугольника, полученного при пересечении тетраэдра с плоскостью MNP.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как $$M$$ и $$N$$ — середины его сторон $$AB$$ и $$BC$$, то $$MN$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$. Следовательно,

$$MN \parallel AC.$$

Поскольку прямая $$MN$$ лежит в плоскости $$MNP$$ и параллельна прямой $$AC$$, лежащей в плоскости $$ACD$$, то линия пересечения плоскостей $$MNP$$ и $$ACD$$ проходит через точку $$P$$ и параллельна $$AC$$. Обозначим эту линию через $$PQ$$. Тогда

$$PQ \parallel AC.$$

Так как $$P$$ — середина ребра $$CD$$, то в треугольнике $$ACD$$ прямая $$PQ$$, проходящая через середину $$CD$$ и параллельная $$AC$$, является средней линией. Значит, $$Q$$ — середина ребра $$AD$$.

Теперь рассмотрим треугольник $$ABD$$. Точки $$M$$ и $$Q$$ — середины его сторон $$AB$$ и $$AD$$, значит, $$MQ$$ — средняя линия треугольника $$ABD$$. Поэтому

$$MQ \parallel BD,$$

а также, аналогично, в треугольнике $$BCD$$ отрезок $$NP$$ — средняя линия, значит

$$NP \parallel BD.$$

Отсюда $$MQ \parallel NP$$. Кроме того, уже найдено, что

$$MN \parallel PQ \parallel AC.$$

Следовательно, четырёхугольник $$MNPQ$$ — параллелограмм.

Его периметр равен

$$P_{MNPQ}=2(MQ+MN).$$

Так как $$MQ$$ — средняя линия треугольника $$ABD$$, то

$$MQ=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\cdot 12=6\text{ см}.$$

А так как $$MN$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$, то

$$MN=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot 10=5\text{ см}.$$