Упр.73 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В тетраэдре $$ABCD$$ точки $$M$$, $$N$$ и $$P$$ являются серединами рёбер $$AB$$, $$BC$$ и $$CD$$, $$AC = 10\ \text{см}$$, $$BD = 12\ \text{см}$$. Докажите, что плоскость $$MNP$$ проходит через середину $$K$$ ребра $$AD$$, и найдите периметр четырёхугольника, полученного при пересечении тетраэдра с плоскостью $$MNP$$.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как $$M$$ и $$N$$ — середины его сторон $$AB$$ и $$BC$$, то $$MN$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$. Следовательно,

$$MN \parallel AC.$$

Плоскость $$MNP$$ содержит прямую $$MN$$, параллельную плоскости $$ACD$$, так как $$AC \subset (ACD)$$. Значит, линия пересечения плоскостей $$MNP$$ и $$ACD$$ параллельна $$AC$$. Эта линия проходит через точку $$P$$, поэтому она совпадает с прямой, проходящей через $$P$$ параллельно $$AC$$. Обозначим точку пересечения этой прямой с ребром $$AD$$ через $$K$$.

В треугольнике $$ACD$$ точка $$P$$ — середина ребра $$CD$$, а $$PK \parallel AC$$. Тогда по теореме о средней линии треугольника $$K$$ — середина ребра $$AD$$.

Теперь рассмотрим треугольник $$ABD$$. Точки $$M$$ и $$K$$ — середины его сторон $$AB$$ и $$AD$$, значит, $$MK$$ — средняя линия треугольника $$ABD$$. Поэтому

$$MK \parallel BD,$$

а в треугольнике $$BCD$$ точки $$N$$ и $$P$$ — середины сторон $$BC$$ и $$CD$$, значит,

$$NP \parallel BD.$$

Отсюда $$MK \parallel NP$$. Кроме того, по построению $$MN \parallel PK$$, так как обе прямые параллельны $$AC$$. Следовательно, четырёхугольник $$MNPK$$ — параллелограмм, а значит, его периметр равен

$$P_{MNPK}=2(MK+MN).$$

Так как $$MK$$ — средняя линия треугольника $$ABD$$, то

$$MK=\frac{BD}{2}=\frac{12}{2}=6\text{ см}.$$

Так как $$MN$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$, то

$$MN=\frac{AC}{2}=\frac{10}{2}=5\text{ см}.$$

Тогда

$$P_{MNPK}=2(6+5)=22\text{ см}.$$

Ответ: $$22\text{ см}$$.