Упр.729 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что при движении: а) параллельные прямые отображаются на параллельные прямые; б) параллельные плоскости отображаются на параллельные плоскости.

Пусть при движении прямая $$a$$ переходит в прямую $$a_1$$, а прямая $$b$$ — в прямую $$b_1$$.

а)

Если $$a \parallel b$$, то возьмём точку $$C$$ и проведём через неё секущую, пересекающую прямые $$a$$ и $$b$$ в точках $$A$$ и $$B$$. Тогда углы, образованные секущей с прямыми $$a$$ и $$b$$, равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых:

$$\angle 1=\angle 2.$$

При движении углы переходят в равные углы, значит, после отображения получаем равенство соответствующих углов между прямыми $$a_1$$ и $$b_1$$ и образом секущей. Следовательно, прямые $$a_1$$ и $$b_1$$ параллельны.

Итак, при движении параллельные прямые отображаются на параллельные прямые.

б)

Пусть $$\alpha \parallel \beta$$. Возьмём в плоскости $$\alpha$$ две пересекающиеся прямые $$a$$ и $$b$$, а в плоскости $$\beta$$ — две пересекающиеся прямые $$c$$ и $$d$$ так, что $$a \parallel c$$ и $$b \parallel d$$.

При движении параллельные прямые переходят в параллельные, значит, образы прямых $$a,b,c,d$$ также попарно параллельны. Кроме того, так как движение сохраняет расстояния и углы, то пересекающиеся прямые остаются пересекающимися, а плоскость, содержащая прямые $$a$$ и $$b$$, переходит в плоскость, содержащую их образы.

Следовательно, образ плоскости $$\alpha$$ — это плоскость, содержащая две пересекающиеся прямые, параллельные соответственно прямым, лежащим в плоскости $$\beta$$. Значит, образ плоскости $$\alpha$$ параллелен плоскости $$\beta$$.

Итак, при движении параллельные плоскости отображаются на параллельные плоскости.