Упр.729 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что при движении: а) параллельные прямые отображаются на параллельные прямые; б) параллельные плоскости отображаются на параллельные плоскости.

Подробный ответ

а) Пусть $$a \parallel b$$ и при движении они переходят в прямые $$a_1$$ и $$b_1$$. Возьмём произвольную секущую $$c$$, пересекающую прямые $$a$$ и $$b$$ в точках $$A$$ и $$B$$. Тогда углы, образованные секущей с параллельными прямыми, равны:

$$\angle 1=\angle 2.$$

При движении углы переходят в равные им углы, значит, после преобразования получаем равенство соответствующих углов между прямыми $$a_1$$, $$b_1$$ и образом секущей $$c_1$$. Следовательно, прямые $$a_1$$ и $$b_1$$ параллельны.

Итак, если $$a \parallel b$$, то и $$a_1 \parallel b_1$$.

б) Пусть $$\alpha \parallel \beta$$ — две параллельные плоскости. Возьмём в плоскости $$\alpha$$ две пересекающиеся прямые $$a$$ и $$b$$, а в плоскости $$\beta$$ — две пересекающиеся прямые $$c$$ и $$d$$ так, что $$a \parallel c$$ и $$b \parallel d$$.

При движении параллельные прямые переходят в параллельные, поэтому образы прямых $$a,b,c,d$$ также будут попарно параллельны. Кроме того, точки пересечения прямых переходят в точки пересечения их образов, значит, образы плоскостей $$\alpha$$ и $$\beta$$ содержат соответственно две пересекающиеся пары параллельных прямых.

Следовательно, образы плоскостей $$\alpha_1$$ и $$\beta_1$$ имеют общую структуру параллельных плоскостей, то есть $$\alpha_1 \parallel \beta_1$$.