Упр.728 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что при движении: а) отрезок отображается на отрезок; б) угол отображается на равный ему угол.

Подробный ответ

Пусть при движении точки $$A,B,C$$ переходят в точки $$A_1,B_1,C_1$$ соответственно.

а) Отрезок отображается на отрезок

Возьмём на отрезке $$AC$$ произвольную точку $$B$$. Тогда

$$AB+BC=AC.$$

Так как при движении расстояния сохраняются, то

$$A_1B_1=AB,\quad B_1C_1=BC,\quad A_1C_1=AC.$$

Следовательно,

$$A_1B_1+B_1C_1=A_1C_1.$$

Равенство в неравенстве треугольника возможно только тогда, когда точки $$A_1,B_1,C_1$$ лежат на одной прямой и точка $$B_1$$ находится между $$A_1$$ и $$C_1$$. Значит, точка $$B_1$$ принадлежит отрезку $$A_1C_1$$.

Итак, каждая точка отрезка $$AC$$ при движении переходит в точку отрезка $$A_1C_1$$, то есть отрезок отображается на отрезок.

б) Угол отображается на равный ему угол

Рассмотрим угол $$\angle AOB$$ и возьмём на его сторонах точки $$A$$ и $$B$$. При движении они переходят в точки $$A_1$$ и $$B_1$$, а точка $$O$$ переходит в точку $$O_1$$. Тогда

$$OA=O_1A_1,\quad OB=O_1B_1,\quad AB=A_1B_1.$$

Следовательно, треугольники $$AOB$$ и $$A_1O_1B_1$$ равны по трём сторонам, значит,

$$\angle AOB=\angle A_1O_1B_1.$$

Таким образом, при движении угол переходит в равный ему угол.