Упр.728 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что при движении: а) отрезок отображается на отрезок; б) угол отображается на равный ему угол.

Подробный ответ

а) Пусть на отрезке $$AC$$ выбрана произвольная точка $$B$$. Тогда

$$AB+BC=AC.$$

При движении точки переходят в точки $$A_1,\;B_1,\;C_1$$, причём расстояния сохраняются:

$$A_1B_1=AB,\quad B_1C_1=BC,\quad A_1C_1=AC.$$

Следовательно,

$$A_1B_1+B_1C_1=A_1C_1.$$

Равенство в неравенстве треугольника возможно только тогда, когда точки $$A_1,\;B_1,\;C_1$$ лежат на одной прямой и точка $$B_1$$ находится между $$A_1$$ и $$C_1$$. Значит, образ отрезка $$AC$$ — это отрезок $$A_1C_1$$.

б) Рассмотрим угол $$AOB$$ и выберем на его сторонах точки $$A$$ и $$B$$. При движении они переходят в точки $$A_1$$ и $$B_1$$, а вершина $$O$$ — в точку $$O_1$$. Тогда

$$OA=O_1A_1,\quad OB=O_1B_1,\quad AB=A_1B_1.$$

Значит, треугольники $$AOB$$ и $$A_1O_1B_1$$ равны по трём сторонам. Поэтому

$$\angle AOB=\angle A_1O_1B_1.$$

Если же $$\angle AOB=180^\circ$$, то точки $$A,\;O,\;B$$ лежат на одной прямой. Так как движение сохраняет коллинеарность точек, то точки $$A_1,\;O_1,\;B_1$$ тоже лежат на одной прямой, следовательно, образ развернутого угла — развернутый угол.