Упр.727 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что при движении: а) прямая отображается на прямую; б) плоскость отображается на плоскость.
а) Возьмём на прямой три точки $$A,$$ $$B,$$ $$C.$$ При движении они перейдут в точки $$A_1,$$ $$B_1,$$ $$C_1,$$ причём
$$AB=A_1B_1,\quad BC=B_1C_1,\quad AC=A_1C_1.$$
Так как точки $$A,$$ $$B,$$ $$C$$ лежат на одной прямой, то одна из них лежит между двумя другими. Тогда, например,
$$AC=AB+BC.$$
Следовательно,
$$A_1C_1=A_1B_1+B_1C_1.$$
Равенство суммы двух отрезков третьему возможно только тогда, когда точки $$A_1,$$ $$B_1,$$ $$C_1$$ лежат на одной прямой. Значит, образ любой прямой при движении — прямая.
б) Возьмём в плоскости $$\alpha$$ прямую $$a$$ и точку $$O,$$ не принадлежащую этой прямой. Проведём через точку $$O$$ прямую $$b,$$ пересекающую $$a$$ в точке $$B,$$ и возьмём на прямой $$a$$ ещё одну точку $$A.$$ Тогда прямые $$a$$ и $$b$$ пересекаются, значит, они задают плоскость $$\alpha.$$
При движении точки перейдут в точки $$O_1,$$ $$A_1,$$ $$B_1,$$ а прямые $$a$$ и $$b$$ — в прямые $$a_1$$ и $$b_1.$$ Так как движение сохраняет расстояния, то точки $$A_1,$$ $$B_1,$$ $$O_1$$ лежат соответственно на образах прямых $$a_1$$ и $$b_1.$$ Следовательно, прямые $$a_1$$ и $$b_1$$ пересекаются в точке $$B_1,$$ а через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость $$\alpha_1.$$
Значит, все точки плоскости $$\alpha$$ переходят в точки одной плоскости $$\alpha_1,$$ то есть при движении плоскость отображается на плоскость.
