Упр.726 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Треугольник $$A_1B_1C_1$$ получен параллельным переносом треугольника $$ABC$$ на вектор $$p$$. Точки $$M_1$$ и $$M$$ — соответственно точки пересечения медиан треугольников $$A_1B_1C_1$$ и $$ABC$$. Докажите, что при параллельном переносе на вектор $$p$$ точка $$M$$ переходит в точку $$M_1$$.

Так как треугольник $$A_1B_1C_1$$ получен параллельным переносом треугольника $$ABC$$ на вектор $$\vec p$$, то

$$AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1,\qquad AA_1=BB_1=CC_1=\vec p.$$

Пусть $$M$$ и $$M_1$$ — точки пересечения медиан треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ соответственно. Тогда точки $$M$$ и $$M_1$$ делят медианы в отношении $$2:1$$, считая от вершин, поэтому при параллельном переносе середины соответствующих сторон переходят друг в друга, а значит, и медианы переходят в медианы.

Проведём отрезки $$AM$$ и $$A_1M_1$$. Так как параллельный перенос сохраняет длины и параллельность, то

$$AM \parallel A_1M_1,\qquad AM=A_1M_1.$$

Рассмотрим четырёхугольник $$AMM_1A_1$$. В нём одна пара противоположных сторон равна и параллельна: $$AM \parallel A_1M_1$$ и $$AM=A_1M_1$$. Следовательно, $$AMM_1A_1$$ — параллелограмм.

Значит,

$$\overrightarrow{MM_1}=\overrightarrow{AA_1}=\vec p.$$

Итак, при параллельном переносе на вектор $$\vec p$$ точка $$M$$ переходит в точку $$M_1$$.