Упр.726 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Треугольник A1B1C1 получен параллельным переносом треугольника ABC на вектор р. Точки M1 и M — соответственно точки пересечения медиан треугольников A1B1C1 и ABC. Докажите, что при параллельном переносе на вектор p точка M переходит в точку M1.

Подробный ответ

При параллельном переносе на вектор $$\vec p$$ точки $$A,\ B,\ C$$ переходят соответственно в точки $$A_1,\ B_1,\ C_1$$, поэтому

$$AB=A_1B_1,\quad BC=B_1C_1,\quad AC=A_1C_1.$$

Следовательно, треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны. Пусть $$M$$ и $$M_1$$ — точки пересечения медиан этих треугольников.

Проведём отрезки $$AM$$ и $$A_1M_1$$. Так как при параллельном переносе сохраняются отношения и середины отрезков, то середина стороны $$BC$$ переходит в середину стороны $$B_1C_1$$, а значит, медиана $$AM$$ переходит в медиану $$A_1M_1$$. Поэтому

$$AM \parallel A_1M_1,\quad AM=A_1M_1.$$

Рассмотрим четырёхугольник $$AMM_1A_1$$. В нём одна пара противоположных сторон равна и параллельна:

$$AM \parallel A_1M_1,\quad AM=A_1M_1.$$

Значит, $$AMM_1A_1$$ — параллелограмм. Тогда

$$\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{MM_1}=\vec p.$$

Следовательно, при параллельном переносе на вектор $$\vec p$$ точка $$M$$ переходит в точку $$M_1$$.