Упр.725 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что при параллельном переносе на вектор p, где рф 0: а) прямая, не параллельная вектору p и не содержащая этот вектор, отображается на параллельную ей прямую; б) прямая, параллельная вектору p или содержащая этот вектор, отображается на себя.

Подробный ответ

а) Пусть прямая $$a$$ не параллельна вектору $$\vec p$$ и не содержит его. Возьмём на ней точку $$A$$ и обозначим её образ при параллельном переносе через $$A_1$$, так что $$\overrightarrow{AA_1}=\vec p$$.

Через точку $$A_1$$ проведём прямую, параллельную исходной прямой $$a$$. Обозначим её через $$a_1$$.

Возьмём любую точку $$B\in a$$ и её образ $$B_1$$ при данном переносе. Тогда $$\overrightarrow{BB_1}=\vec p$$. Четырёхугольник $$AA_1B_1B$$ имеет попарно равные и параллельные противоположные стороны, значит, это параллелограмм. Следовательно, $$AB \parallel A_1B_1$$.

Но точки $$A_1$$ и $$B_1$$ лежат на прямой, полученной из $$a$$ при переносе, значит, образ прямой $$a$$ — это прямая, параллельная ей.

б) Пусть прямая $$a$$ параллельна вектору $$\vec p$$ или содержит этот вектор. Возьмём на ней точку $$A$$ и её образ $$A_1$$, тогда $$\overrightarrow{AA_1}=\vec p$$.

Так как $$a \parallel \vec p$$, то через точку $$A_1$$ можно провести только одну прямую, параллельную $$a$$, и она совпадает с самой прямой $$a$$. Значит, $$A_1\in a$$.

Аналогично для любой точки $$B\in a$$ её образ $$B_1$$ также принадлежит прямой $$a$$. Следовательно, каждая точка прямой переходит в точку этой же прямой, то есть прямая отображается на себя.