Упр.725 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что при параллельном переносе на вектор $$p$$, где $$p \ne 0$$: а) прямая, не параллельная вектору $$p$$ и не содержащая этот вектор, отображается на параллельную ей прямую; б) прямая, параллельная вектору $$p$$ или содержащая этот вектор, отображается на себя.

Пусть при параллельном переносе на вектор $$\vec p\neq \vec 0$$ прямая $$a$$ переходит в прямую $$a_1$$.

Возьмём на прямой $$a$$ две точки $$A$$ и $$B$$. Тогда при переносе они перейдут в точки $$A_1$$ и $$B_1$$ так, что

$$\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{BB_1}=\vec p.$$

Следовательно, четырёхугольник $$AA_1B_1B$$ — параллелограмм, поэтому

$$AB\parallel A_1B_1,\qquad AA_1\parallel BB_1.$$

Значит, образ прямой $$a$$ — прямая $$a_1$$ — параллелен прямой $$a$$.

Если же прямая $$a$$ параллельна вектору $$\vec p$$ или содержит этот вектор, то для любой точки $$A\in a$$ её образ $$A_1$$ лежит на прямой, проходящей через $$A$$ и параллельной $$\vec p$$. Но такая прямая единственна, а так как $$a\parallel \vec p$$, то она совпадает с $$a$$. Значит, каждая точка прямой переходит в точку той же прямой, то есть прямая отображается на себя.

Ответ: а) прямая переходит в параллельную ей прямую; б) прямая, параллельная $$\vec p$$ или содержащая его, переходит на себя.