Упр.724 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: При зеркальной симметрии относительно плоскости а плоскость P отображается на плоскость p,. Докажите, что если: а) p || а, то P1 Il а; б) p J. а, то p, совпадает с р.

Подробный ответ

а) Выберем в плоскости $$\beta$$ три точки $$A, B, C$$, не лежащие на одной прямой. Проведём через них перпендикуляры к плоскости $$\alpha$$: $$AA_1 \perp \alpha$$, $$BB_1 \perp \alpha$$, $$CC_1 \perp \alpha$$. При зеркальной симметрии относительно плоскости $$\alpha$$ точки $$A_1, B_1, C_1$$ переходят в точки $$A_2, B_2, C_2$$ так, что $$A_2A_1 = A_1A$$, $$B_2B_1 = B_1B$$, $$C_2C_1 = C_1C$$.

Так как $$AA_1 \parallel BB_1$$ и $$AA_1 = BB_1$$, то четырёхугольник $$AA_1B_1B$$ — прямоугольник. Следовательно, $$A_1B_1 \parallel AB$$. Аналогично, $$B_1C_1 \parallel BC$$.

Плоскость $$\beta_1$$ проходит через точки $$A_1, B_1, C_1$$ и единственна. Поскольку две пересекающиеся прямые $$AB$$ и $$BC$$ одной плоскости $$\beta$$ параллельны двум пересекающимся прямым $$A_1B_1$$ и $$B_1C_1$$ другой плоскости $$\beta_1$$, то эти плоскости параллельны:

$$\beta_1 \parallel \beta.$$

Значит, если $$\beta \parallel \alpha$$, то и её образ $$\beta_1$$ параллелен $$\alpha$$.

б) Пусть теперь $$\alpha \perp \beta$$. Возьмём произвольную точку $$A \in \beta$$ и проведём через неё прямую $$AO \perp \alpha$$, где $$O \in \alpha$$. Отложим на этой прямой от точки $$O$$ отрезок $$OA_1 = OA$$.

Так как плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ взаимно перпендикулярны, то прямая $$AO$$, перпендикулярная плоскости $$\alpha$$ и имеющая общую точку с плоскостью $$\beta$$, целиком лежит в плоскости $$\beta$$. Следовательно, $$A_1 \in \beta$$.

Но точка $$A_1$$ — образ точки $$A$$ при зеркальной симметрии относительно плоскости $$\alpha$$. Значит, каждая точка плоскости $$\beta$$ переходит в точку той же плоскости $$\beta$$. Поэтому плоскость $$\beta$$ отображается сама на себя.

Итак, если $$\beta \perp \alpha$$, то образ плоскости $$\beta$$ при зеркальной симметрии относительно $$\alpha$$ совпадает с $$\beta$$.