Упр.724 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

При зеркальной симметрии относительно плоскости $$\alpha$$ плоскость $$P$$ отображается на плоскость $$P_1$$. Докажите, что если:

а) $$P \parallel \alpha$$, то $$P_1 \parallel \alpha$$;

б) $$P \perp \alpha$$, то $$P_1$$ совпадает с $$P$$.

а) Возьмём в плоскости $$\beta$$ три точки $$A,B,C$$, не лежащие на одной прямой. Проведём через них перпендикуляры к плоскости $$\alpha$$: $$AA_1,\;BB_1,\;CC_1$$. При зеркальной симметрии относительно $$\alpha$$ точки $$A_1,\;B_1,\;C_1$$ переходят в точки $$A_2,\;B_2,\;C_2$$ так, что $$A_2A_1=AA_1,\;B_2B_1=BB_1,\;C_2C_1=CC_1$$.

Так как $$AA_1=BB_1$$ и $$AA_1\parallel BB_1$$, то четырёхугольник $$AA_1B_1B$$ — прямоугольник. Следовательно, $$A_1B_1\parallel AB$$. Аналогично, $$B_1C_1\parallel BC$$.

Плоскость $$\beta_1$$ проходит через точки $$A_1,\;B_1,\;C_1$$. Поскольку две пересекающиеся прямые $$AB$$ и $$BC$$ одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым $$A_1B_1$$ и $$B_1C_1$$ другой плоскости, то эти плоскости параллельны:

$$\beta_1\parallel \beta.$$

Но по условию $$\beta_1$$ — образ плоскости $$\beta$$ при зеркальной симметрии относительно $$\alpha$$. Значит, если $$\beta\parallel\alpha$$, то и её образ $$\beta_1\parallel\alpha$$.

б) Пусть теперь $$\beta\perp\alpha$$. Возьмём произвольную точку $$A\in\beta$$ и проведём через неё прямую $$AO\perp\alpha$$. Продолжим её за точку $$O$$ до точки $$A_1$$ так, чтобы $$OA_1=OA$$.

Так как плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ взаимно перпендикулярны, то любая прямая плоскости $$\beta$$, проходящая через точку $$A$$ и перпендикулярная линии их пересечения, лежит в плоскости $$\beta$$. Поэтому отрезок $$AA_1$$ принадлежит плоскости $$\beta$$.

Следовательно, каждая точка плоскости $$\beta$$ при зеркальной симметрии относительно $$\alpha$$ переходит в точку той же плоскости $$\beta$$. Значит, плоскость $$\beta$$ отображается сама на себя, то есть $$\beta_1$$ совпадает с $$\beta$$.

Ответ: а) $$\beta_1\parallel\alpha$$; б) $$\beta_1=\beta$$.