Упр.723 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- При зеркальной симметрии прямая $$a$$ отображается на прямую $$a’$$. Докажите, что прямые $$a$$ и $$a’$$ лежат в одной плоскости.
Рассмотрим плоскость, относительно которой выполняется зеркальная симметрия. Обозначим её через $$\alpha.$$
Пусть прямая $$a$$ переходит при симметрии в прямую $$a_1.$$
Если $$a \parallel \alpha,$$ то прямая $$a_1$$ тоже параллельна плоскости $$\alpha.$$ Возьмём на прямой $$a$$ две точки $$M$$ и $$N,$$ а на прямой $$a_1$$ — соответствующие им симметричные точки $$L$$ и $$K.$$ Тогда
$$MA=AL,\qquad NB=BK.$$
Так как $$a \parallel \alpha,$$ то отрезки, перпендикулярные плоскости $$\alpha,$$ равны, значит
$$MA=NB,\qquad AL=BK.$$
Следовательно, $$ML=NK.$$ Кроме того, отрезки $$ML$$ и $$NK$$ перпендикулярны плоскости $$\alpha,$$ значит, они параллельны. Тогда четырёхугольник $$MNKL$$ — прямоугольник, поэтому
$$LK \parallel MN.$$
Но $$MN \subset a,$$ а $$LK \subset a_1,$$ значит, $$a \parallel a_1.$$ Параллельные прямые лежат в одной плоскости.
Если же $$a$$ не параллельна плоскости $$\alpha,$$ то она пересекает её в точке $$P.$$ При зеркальной симметрии точка $$P$$ переходит сама в себя, так как лежит в плоскости симметрии. Значит, $$P \in a_1.$$ Тогда прямые $$a$$ и $$a_1$$ имеют общую точку и лежат в одной плоскости.
Итак, в обоих случаях прямые $$a$$ и $$a_1$$ лежат в одной плоскости.
