Упр.723 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: При зеркальной симметрии прямая а отображается на прямую O1. Докажите, что прямые а и а, лежат в одной плоскости.

Подробный ответ

Рассмотрим плоскость симметрии. Обозначим через $$M$$ и $$N$$ точки пересечения прямой $$a$$ с этой плоскостью и через $$L$$ и $$K$$ — соответствующие им симметричные точки на прямой $$a_1$$.

Если прямая $$a$$ параллельна плоскости симметрии, то отрезки, соединяющие симметричные точки, равны и перпендикулярны этой плоскости, значит, $$ML \parallel NK$$. Кроме того, $$ML=NK$$, так как точки $$M$$ и $$N$$ переходят при симметрии в точки $$L$$ и $$K$$ соответственно.

Следовательно, четырёхугольник $$MNKL$$ — прямоугольник, поэтому $$LK \parallel MN$$. Но $$MN$$ лежит на прямой $$a$$, а $$LK$$ — на прямой $$a_1$$. Значит, $$a \parallel a_1$$, а параллельные прямые лежат в одной плоскости.

Если же прямая $$a$$ не параллельна плоскости симметрии, то она пересекает её в точке $$P$$. При зеркальной симметрии точка $$P$$ переходит сама в себя, так как лежит в плоскости симметрии. Значит, $$P \in a_1$$. Тогда прямые $$a$$ и $$a_1$$ имеют общую точку $$P$$, следовательно, они лежат в одной плоскости.

Во всех случаях прямые $$a$$ и $$a_1$$ лежат в одной плоскости.