Упр.722 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что при осевой симметрии: а) прямая, параллельная оси, отображается на прямую, параллельную оси; б) прямая, образующая с осью угол ф, отображается на прямую, также образующую с осью угол ф.

а) Пусть при осевой симметрии относительно оси $$l$$ точки $$M$$ и $$L$$ переходят в точки $$M_1$$ и $$L_1$$ соответственно. Тогда отрезок $$ML$$ переходит в отрезок $$M_1L_1$$.

Так как $$ML \parallel l$$, то прямая $$ML$$ перпендикулярна любой прямой, перпендикулярной оси $$l$$. В частности, если через точки $$M$$ и $$L$$ провести перпендикуляры к оси $$l$$, то их образы также будут перпендикулярны оси $$l$$. Следовательно, $$M_1L_1 \parallel ML$$, а значит, $$M_1L_1 \parallel l$$.

Итак, прямая, параллельная оси симметрии, переходит в прямую, параллельную этой оси.

б) Пусть прямая $$m$$ пересекает ось симметрии $$a$$ в точке $$A$$ и образует с ней угол $$\varphi$$. Возьмём на прямой $$l$$ точку $$N$$ и проведём через неё перпендикуляр $$NE \perp a$$, где $$E \in a$$. Продолжим отрезок $$NE$$ за точку $$E$$ до точки $$F$$ так, чтобы $$EF=NE$$.

Тогда точки $$E$$ и $$A$$ лежат на оси симметрии, а отрезки $$AE$$ и $$AN$$ — общие для треугольников $$AEF$$ и $$AEN$$. Кроме того, $$EF=NE$$ и $$AE$$ — общий катет, значит, $$\triangle AEF \cong \triangle AEN$$.

Отсюда следует равенство углов:

$$\angle EAF=\angle EAN=\varphi.$$

Но точка $$F$$ лежит на прямой $$m$$, значит, прямая $$m$$ образует с осью симметрии угол $$\varphi$$.

Следовательно, при осевой симметрии прямая, образующая с осью угол $$\varphi$$, переходит в прямую, также образующую с осью угол $$\varphi$$.

Ответ

а) Прямая, параллельная оси симметрии, переходит в прямую, параллельную этой оси.
б) Прямая, образующая с осью угол $$\varphi$$, переходит в прямую, также образующую с осью угол $$\varphi$$.