Упр.722 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что при осевой симметрии: а) прямая, параллельная оси, отображается на прямую, параллельную оси; б) прямая, образующая с осью угол $$\varphi$$, отображается на прямую, также образующую с осью угол $$\varphi$$.
Пусть при осевой симметрии относительно прямой $$a$$ точка $$X$$ переходит в точку $$X_1$$.
а)
Пусть прямая $$m$$ параллельна оси симметрии $$a$$. Возьмём на $$m$$ две точки $$M$$ и $$L$$ и отобразим их в точки $$M_1$$ и $$L_1$$.
Так как осевая симметрия сохраняет расстояния до оси, то отрезки $$MM_1$$ и $$LL_1$$ перпендикулярны прямой $$a$$ и равны между собой. Кроме того, точки $$M, L$$ лежат на одной прямой, параллельной $$a$$, значит и их образы $$M_1, L_1$$ лежат на одной прямой, также параллельной $$a$$.
Следовательно, прямая $$m$$ переходит в прямую $$m_1$$, причём $$m_1 \parallel a$$. Значит, прямая, параллельная оси, отображается на прямую, параллельную оси.
б)
Пусть прямая $$m$$ образует с осью $$a$$ угол $$\varphi$$. Если $$m \parallel a$$, то утверждение уже доказано. Поэтому рассмотрим случай, когда $$m$$ пересекает $$a$$ в точке $$A$$.
Возьмём на прямой $$a$$ точку $$N$$ и проведём через неё перпендикуляр $$NE \perp a$$. Продолжим отрезок $$NE$$ за точку $$E$$ и отложим $$EF=NE$$. Через точку $$F$$ проведём прямую $$m_1$$, которая является образом прямой $$m$$ при осевой симметрии.
Рассмотрим треугольники $$AEF$$ и $$AEN$$. У них
- $$AE$$ — общий катет;
- $$EF=NE$$ по построению;
- $$\angle AEF=\angle AEN=90^\circ$$.
Следовательно, $$\triangle AEF \cong \triangle AEN$$, откуда
$$\angle EAF=\angle EAN=\varphi.$$
Значит, прямая $$m_1$$ образует с осью $$a$$ тот же угол $$\varphi$$, что и прямая $$m$$.
Итак, при осевой симметрии прямая, параллельная оси, переходит в прямую, параллельную оси, а прямая, образующая с осью угол $$\varphi$$, переходит в прямую, также образующую с осью угол $$\varphi$$.
