Упр.721 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что при центральной симметрии: а) плоскость, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей плоскость; б) плоскость, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.

Подробный ответ

При центральной симметрии с центром $$O$$ каждой точке $$X$$ соответствует точка $$X_1$$, лежащая на прямой $$OX$$ и такая, что $$OX_1=OX$$.

а)

Пусть дана плоскость $$\alpha$$, не проходящая через центр симметрии $$O$$. Возьмём в этой плоскости три не лежащие на одной прямой точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ и построим им симметричные точки $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$.

Рассмотрим треугольники $$OAC$$ и $$OA_1C_1$$. Имеем:

$$OA=OA_1,\qquad OC=OC_1,$$

а углы $$\angle AOC$$ и $$\angle A_1OC_1$$ равны как вертикальные. Значит, треугольники $$OAC$$ и $$OA_1C_1$$ равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$A_1C_1 \parallel AC.$$

Аналогично получаем:

$$A_1B_1 \parallel AB,\qquad B_1C_1 \parallel BC.$$

Следовательно, через точки $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$ проходит плоскость $$\beta$$, параллельная плоскости $$\alpha$$, так как в плоскости $$\beta$$ лежат прямые, соответственно параллельные двум пересекающимся прямым $$AB$$ и $$AC$$ плоскости $$\alpha$$.

Значит, плоскость, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей плоскость.

б)

Пусть теперь плоскость $$\alpha$$ проходит через центр симметрии $$O$$. Возьмём любую точку $$A\in\alpha$$. Тогда прямая $$OA$$ лежит в плоскости $$\alpha$$, а значит, и симметричная точка $$A_1$$ тоже принадлежит этой плоскости.

Аналогично, если $$B\in\alpha$$ и $$C\in\alpha$$, то их симметричные точки $$B_1$$ и $$C_1$$ также лежат в плоскости $$\alpha$$.

Итак, образами трёх неколлинеарных точек плоскости $$\alpha$$ являются точки $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$, которые тоже лежат в этой же плоскости. Следовательно, образ плоскости при центральной симметрии совпадает с самой плоскостью.

Значит, плоскость, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.