Упр.720 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что при центральной симметрии: а) прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую; б) прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр центральной симметрии.

а)

Пусть прямая $$a$$ не проходит через точку $$O$$. Возьмём на ней любые две точки $$A$$ и $$B$$ и построим их симметричные точки $$A_1$$ и $$B_1$$ относительно центра $$O$$, то есть так, что $$O$$ — середина отрезков $$AA_1$$ и $$BB_1$$.

Рассмотрим четырёхугольник $$AOBB_1$$. В треугольниках $$AOB$$ и $$A_1OB_1$$ имеем:

$$OA=OA_1$$,
$$OB=OB_1$$,
$$\angle AOB=\angle A_1OB_1$$ как вертикальные.

Следовательно, $$\triangle AOB \cong \triangle A_1OB_1$$ по двум сторонам и углу между ними. Значит, соответствующие углы равны, например $$\angle ABO=\angle A_1B_1O$$. Эти углы — накрест лежащие при прямых $$a$$ и $$a_1$$ и секущей $$BB_1$$, поэтому $$a \parallel a_1$$.

Итак, прямая, не проходящая через центр симметрии, переходит в параллельную ей прямую.

б)

Пусть прямая $$a$$ проходит через центр симметрии $$O$$. Возьмём на ней произвольную точку $$A$$ и обозначим её симметричную точку через $$A_1$$. Тогда $$O$$ — середина отрезка $$AA_1$$.

Так как точки $$A$$ и $$O$$ лежат на прямой $$a$$, то и точка $$A_1$$ лежит на той же прямой $$a$$. Значит, каждой точке прямой $$a$$ при центральной симметрии соответствует точка этой же прямой.

Следовательно, прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.