Упр.720 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что при центральной симметрии: а) прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую; б) прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.

Пусть $$O$$ — центр центральной симметрии.

а) Рассмотрим прямую $$a$$, не проходящую через $$O$$. Возьмём на ней две различные точки $$A$$ и $$B$$ и построим их симметричные точки $$A_1$$ и $$B_1$$ относительно точки $$O$$. Тогда $$O$$ — середина отрезков $$AA_1$$ и $$BB_1$$.

Рассмотрим четырёхугольник $$ABA_1B_1$$. Его диагонали $$AA_1$$ и $$BB_1$$ пересекаются и делятся пополам в точке $$O$$. Значит, $$ABA_1B_1$$ — параллелограмм. Следовательно, $$AB \parallel A_1B_1$$.

Но точки $$A$$ и $$B$$ лежат на прямой $$a$$, а точки $$A_1$$ и $$B_1$$ — на образе этой прямой при центральной симметрии. Значит, образ прямой $$a$$ есть прямая, параллельная $$a$$.

б) Пусть прямая $$a$$ проходит через центр симметрии $$O$$. Возьмём любую точку $$A \in a$$ и обозначим через $$A_1$$ её образ при центральной симметрии. Тогда точки $$A, O, A_1$$ лежат на одной прямой, причём $$O$$ — середина отрезка $$AA_1$$.

Так как $$A \in a$$ и $$O \in a$$, то прямая $$AA_1$$ совпадает с прямой $$a$$. Следовательно, каждая точка прямой $$a$$ переходит в точку той же прямой, значит, прямая отображается на себя.

Ответ

а) Прямая, не проходящая через центр симметрии, переходит в параллельную ей прямую.
б) Прямая, проходящая через центр симметрии, переходит сама в себя.