Упр.72 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Изобразите тетраэдр DABC и постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через точку M параллельно плоскости грани ABC, если: а) точка M является серединой ребра AD; б) точка M лежит внутри грани ABD.

Рассмотрим тетраэдр $$DABC$$.

а) Пусть точка $$M$$ — середина ребра $$AD$$. Проведём через $$M$$ плоскость, параллельную плоскости $$ABC$$. Эта плоскость пересечёт рёбра $$BD$$ и $$CD$$ в точках $$K$$ и $$N$$ соответственно.

Так как плоскость параллельна $$ABC$$, то в треугольниках $$DAB$$ и $$DAC$$ получаем:

$$ MK \parallel AB,\qquad MN \parallel AC,\qquad KN \parallel BC. $$

Следовательно, сечение есть треугольник $$MKN$$, причём $$MKN \sim ABC$$.

б) Пусть точка $$M$$ лежит внутри грани $$ABD$$. Проведём через $$M$$ прямую $$KP \parallel AB$$, где $$K \in BD$$, $$P \in AD$$. Затем через точку $$K$$ проведём прямую $$KN \parallel BC$$, где $$N \in CD$$.

Тогда точки $$K, M, P$$ лежат в одной плоскости, а прямая $$KN$$ параллельна $$BC$$. Плоскость $$KNP$$ содержит две пересекающиеся прямые $$KP$$ и $$KN$$, параллельные соответственно прямым $$AB$$ и $$BC$$ плоскости $$ABC$$. Значит,

$$ (KNP) \parallel (ABC). $$

Искомое сечение — треугольник $$KNP$$.

Ответ

а) Сечение — треугольник $$MKN$$, где $$MK \parallel AB$$, $$MN \parallel AC$$, $$KN \parallel BC$$.
б) Сечение — треугольник $$KNP$$, причём $$KP \parallel AB$$ и $$KN \parallel BC$$.