Упр.717 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Угол между диагональю $$AC_1$$ прямоугольного параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ и каждым из рёбер $$AB$$ и $$AD$$ равен $$60^\circ$$. Найдите $$\angle CAC_1$$.

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $$A$$ и осями вдоль рёбер $$AB$$, $$AD$$ и $$AA_1$$. Пусть

$$AB=a,\quad AD=b,\quad AA_1=c.$$

Тогда координаты точек можно задать так:

$$A(0,0,0),\quad B(a,0,0),\quad D(0,b,0),\quad C(a,b,0),\quad C_1(a,b,c).$$

Вектор диагонали $$AC_1$$ имеет координаты $$\vec{AC_1}=(a,b,c)$$.

По условию углы между $$AC_1$$ и рёбрами $$AB$$ и $$AD$$ равны $$60^\circ$$. Значит,

$$\cos 60^\circ=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac12,$$

$$\cos 60^\circ=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac12.$$

Отсюда $$a=b$$. Обозначим $$a=b=t$$. Тогда

$$\frac{t}{\sqrt{2t^2+c^2}}=\frac12,$$

следовательно,

$$4t^2=2t^2+c^2,\qquad c^2=2t^2.$$

Теперь найдём угол $$\angle CAC_1$$. Вектор $$\vec{AC}=(a,b,0)=(t,t,0)$$, поэтому

$$\cos \angle CAC_1=\frac{\vec{AC}\cdot \vec{AC_1}}{|\vec{AC}|\cdot |\vec{AC_1}|}.$$

Вычислим скалярное произведение:

$$\vec{AC}\cdot \vec{AC_1}=t\cdot t+t\cdot t+0\cdot c=2t^2.$$

Длины векторов:

$$|\vec{AC}|=\sqrt{t^2+t^2}=t\sqrt2,$$

$$|\vec{AC_1}|=\sqrt{t^2+t^2+c^2}=\sqrt{2t^2+2t^2}=2t.$$

Тогда

$$\cos \angle CAC_1=\frac{2t^2}{t\sqrt2\cdot 2t}=\frac{1}{\sqrt2}.$$

Следовательно,

$$\angle CAC_1=45^\circ.$$

Ответ: $$45^\circ$$.