Упр.716 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В тетраэдре DABC $$DA=5\text{ см}$$, $$AB=4\text{ см}$$, $$AC=3\text{ см}$$, $$\angle BAC=90^\circ$$, $$\angle DAB=60^\circ$$, $$\angle DAC=45^\circ$$. Найдите расстояние от вершины $$A$$ до точки пересечения медиан треугольника $$DBC$$.

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $$A$$ так, чтобы ось $$Ox$$ была направлена вдоль $$AB$$, а ось $$Oy$$ — в плоскости $$ABC$$ перпендикулярно $$AB$$.

Тогда

$$A(0,0,0),\quad B(4,0,0),\quad C(0,3,0).$$

Пусть $$M$$ — точка пересечения медиан треугольника $$DBC$$. Тогда $$M$$ лежит на медиане, проведённой из вершины $$D$$ к середине отрезка $$BC$$. Обозначим середину $$BC$$ через $$N$$. Тогда

$$N\left(2,\frac{3}{2},0\right).$$

Найдём координаты точки $$D(x,y,z)$$.

Из условий $$DA=5$$, $$\angle DAB=60^\circ$$ и $$\angle DAC=45^\circ$$ получаем:

$$\cos \angle DAB=\frac{\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB}}{|AD|\cdot |AB|}=\frac{x\cdot 4}{5\cdot 4}=\frac{x}{5}=\frac12,$$

откуда $$x=\frac52.$$

Аналогично

$$\cos \angle DAC=\frac{\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AC}}{|AD|\cdot |AC|}=\frac{y\cdot 3}{5\cdot 3}=\frac{y}{5}=\frac{\sqrt2}{2},$$

следовательно,

$$y=\frac{5\sqrt2}{2}.$$

Теперь из равенства $$AD=5$$:

$$x^2+y^2+z^2=25,$$

$$\left(\frac52\right)^2+\left(\frac{5\sqrt2}{2}\right)^2+z^2=25,$$

$$\frac{25}{4}+\frac{50}{4}+z^2=25,$$

$$z^2=\frac{25}{4},\quad z=\frac52.$$

Значит,

$$D\left(\frac52,\frac{5\sqrt2}{2},\frac52\right).$$

Точка пересечения медиан треугольника делит медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины, поэтому

$$M=N+\frac13\overrightarrow{ND}=\frac13D+\frac23N.$$

Тогда

$$M\left(\frac{13}{6},\frac{5\sqrt2+6}{6},\frac56\right).$$

Теперь найдём расстояние $$AM$$:

$$AM=\sqrt{\left(\frac{13}{6}\right)^2+\left(\frac{5\sqrt2+6}{6}\right)^2+\left(\frac56\right)^2}$$

$$=\frac16\sqrt{169+(5\sqrt2+6)^2+25}$$

$$=\frac16\sqrt{169+50+60\sqrt2+36+25}$$

$$=\frac16\sqrt{280+60\sqrt2}=\frac13\sqrt{70+15\sqrt2}.$$

Ответ: $$\frac13\sqrt{70+15\sqrt2}$$.