Упр.715 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ $$\angle BAC_1=\angle DAC_1=60^\circ$$. Найдите $$\varphi=\angle A_1AC_1$$.

Зададим прямоугольную систему координат с началом в точке $$B$$ и рассмотрим единичный вектор $$\vec a$$, сонаправленный с вектором $$AC_1$$.

Так как $$\angle BAC_1=60^\circ$$ и $$\angle DAC_1=60^\circ$$, то вектор $$\vec a$$ имеет координаты

$$\left(\cos 60^\circ,\cos 60^\circ,\cos\varphi\right)=\left(\frac12,\frac12,\cos\varphi\right).$$

Поскольку $$|\vec a|=1$$, получаем

$$\left(\frac12\right)^2+\left(\frac12\right)^2+\cos^2\varphi=1.$$

Отсюда

$$\frac14+\frac14+\cos^2\varphi=1,$$

$$\cos^2\varphi=\frac12.$$

Так как угол $$\varphi$$ острый, то

$$\cos\varphi=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Следовательно,

$$\varphi=45^\circ.$$

Ответ: $$45^\circ$$.