Упр.714 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Лучи $$OA$$, $$OB$$ и $$OC$$ образуют три прямых угла $$AOB$$, $$AOC$$ и $$BOC$$. Найдите угол между биссектрисами углов $$COA$$ и $$AOB$$.

Пусть лучи $$OA,$$ $$OB$$ и $$OC$$ взаимно перпендикулярны и образуют прямые углы $$\angle AOB=90^\circ,$$ $$\angle AOC=90^\circ,$$ $$\angle BOC=90^\circ.$$

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $$O$$ так, чтобы оси были направлены вдоль лучей $$OA,$$ $$OB,$$ $$OC.$$ Тогда можно взять

$$A(1,0,0),\quad B(0,1,0),\quad C(0,0,1).$$

Биссектриса угла $$AOB$$ проходит через середину отрезка $$AB$$, а биссектриса угла $$COA$$ — через середину отрезка $$AC.$$ Найдём эти середины:

$$M\left(\frac12,\frac12,0\right),\quad N\left(\frac12,0,\frac12\right).$$

Тогда направляющие векторы биссектрис:

$$\overrightarrow{OM}=\left(\frac12,\frac12,0\right),\quad \overrightarrow{ON}=\left(\frac12,0,\frac12\right).$$

Найдём косинус угла между ними:

$$\cos \angle MON= \frac{\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}}{|\overrightarrow{OM}|\cdot |\overrightarrow{ON}|} = \frac{\frac12\cdot \frac12+\frac12\cdot 0+0\cdot \frac12}{\sqrt{\frac14+\frac14}\cdot \sqrt{\frac14+\frac14}} = \frac{\frac14}{\frac12\cdot \frac12} = \frac12.$$

Следовательно,

$$\angle MON=60^\circ.$$

Ответ: $$60^\circ$$.