Упр.714 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Лучи OA, OB и OC образуют три прямых угла AOB, AOC и BOC. Найдите угол между биссектрисами углов COA и AOB.

Подробный ответ

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $$O$$ так, чтобы лучи $$OA$$, $$OB$$ и $$OC$$ совпали соответственно с осями $$Ox$$, $$Oy$$ и $$Oz$$. Тогда можно взять точки

$$A(1,0,0), \quad B(0,1,0), \quad C(0,0,1).$$

Биссектриса угла $$COA$$ лежит в плоскости $$xOz$$ и проходит через середину дуги между направлениями $$OC$$ и $$OA$$, поэтому её направляющий вектор можно взять равным

$$\vec{u}=(1,0,1).$$

Аналогично, биссектриса угла $$AOB$$ имеет направляющий вектор

$$\vec{v}=(1,1,0).$$

Найдём угол между этими векторами:

$$ \cos \varphi=\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\cdot |\vec{v}|} =\frac{1\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot 0}{\sqrt{1^2+0^2+1^2}\cdot \sqrt{1^2+1^2+0^2}} =\frac{1}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}} =\frac{1}{2}. $$

Следовательно,

$$\varphi=60^\circ.$$