Упр.713 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Дан куб $$MNPQM_1N_1P_1Q_1$$. Докажите, что прямая $$PM_1$$ перпендикулярна к плоскостям $$MN_1Q_1$$ и $$QNP_1$$.

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $$M$$ и осями вдоль рёбер куба. Пусть ребро куба равно $$a$$. Тогда координаты вершин можно задать так:

$$M(0,0,0),\quad N(a,0,0),\quad Q(0,a,0),\quad P(a,a,0),\quad M_1(0,0,a),\quad N_1(a,0,a),\quad Q_1(0,a,a),\quad P_1(a,a,a).$$

Чтобы доказать, что прямая $$PM_1$$ перпендикулярна плоскости, достаточно показать, что она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Для плоскости $$MN_1Q_1$$ возьмём прямые $$MN_1$$ и $$N_1Q_1$$. Их направляющие векторы:

$$\overrightarrow{PM_1}=(-a,-a,a),\quad \overrightarrow{MN_1}=(a,0,a),\quad \overrightarrow{N_1Q_1}=(-a,a,0).$$

Скалярные произведения:

$$\overrightarrow{PM_1}\cdot \overrightarrow{MN_1}=(-a)\cdot a+(-a)\cdot 0+a\cdot a=-a^2+a^2=0,$$

$$\overrightarrow{PM_1}\cdot \overrightarrow{N_1Q_1}=(-a)\cdot(-a)+(-a)\cdot a+a\cdot 0=a^2-a^2=0.$$

Значит, $$PM_1\perp MN_1$$ и $$PM_1\perp N_1Q_1$$, следовательно,

$$PM_1\perp MN_1Q_1.$$

Аналогично для плоскости $$QNP_1$$ возьмём прямые $$QN$$ и $$QP_1$$. Их направляющие векторы:

$$\overrightarrow{QN}=(a,-a,0),\quad \overrightarrow{QP_1}=(a,0,a).$$

Тогда

$$\overrightarrow{PM_1}\cdot \overrightarrow{QN}=(-a)\cdot a+(-a)\cdot(-a)+a\cdot 0=-a^2+a^2=0,$$

$$\overrightarrow{PM_1}\cdot \overrightarrow{QP_1}=(-a)\cdot a+(-a)\cdot 0+a\cdot a=-a^2+a^2=0.$$

Следовательно, $$PM_1\perp QN$$ и $$PM_1\perp QP_1$$, а значит,

$$PM_1\perp QNP_1.$$

Ответ: $$PM_1\perp MN_1Q_1$$ и $$PM_1\perp QNP_1$$.