Упр.713 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Дан куб MNPQM1N1P1Q1. Докажите, что прямая PM1 перпендикулярна к плоскостям MN1Q1 и QNP1.

Подробный ответ

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $$M$$ и осями вдоль рёбер куба. Пусть ребро куба равно $$a$$. Тогда координаты нужных точек можно задать так:

$$M(0,0,0),\quad N(a,0,0),\quad Q(0,a,0),\quad P(a,a,0),$$
$$M_1(0,0,a),\quad N_1(a,0,a),\quad Q_1(0,a,a),\quad P_1(a,a,a).$$

Чтобы доказать, что прямая перпендикулярна плоскости, достаточно показать, что она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

а) Рассмотрим плоскость $$MN_1Q_1$$. В ней лежат пересекающиеся прямые $$MN_1$$ и $$N_1Q_1$$.

Найдём направляющие векторы:

$$\overrightarrow{PM_1}=(-a,-a,a),\quad \overrightarrow{MN_1}=(a,0,a),\quad \overrightarrow{N_1Q_1}=(-a,a,0).$$

Вычислим скалярные произведения:

$$\overrightarrow{PM_1}\cdot \overrightarrow{MN_1}=(-a)\cdot a+(-a)\cdot 0+a\cdot a=-a^2+a^2=0,$$
$$\overrightarrow{PM_1}\cdot \overrightarrow{N_1Q_1}=(-a)\cdot(-a)+(-a)\cdot a+a\cdot 0=a^2-a^2=0.$$

Значит, $$PM_1 \perp MN_1$$ и $$PM_1 \perp N_1Q_1$$, следовательно,

$$PM_1 \perp MN_1Q_1.$$

б) Рассмотрим плоскость $$QNP_1$$. В ней лежат пересекающиеся прямые $$QN$$ и $$NP_1$$.

Их направляющие векторы:

$$\overrightarrow{QN}=(a,-a,0),\quad \overrightarrow{NP_1}=(0,a,a).$$

Проверим перпендикулярность к прямой $$PM_1$$:

$$\overrightarrow{PM_1}\cdot \overrightarrow{QN}=(-a)\cdot a+(-a)\cdot(-a)+a\cdot 0=-a^2+a^2=0,$$
$$\overrightarrow{PM_1}\cdot \overrightarrow{NP_1}=(-a)\cdot 0+(-a)\cdot a+a\cdot a=-a^2+a^2=0.$$

Следовательно, $$PM_1 \perp QN$$ и $$PM_1 \perp NP_1$$, значит,

$$PM_1 \perp QNP_1.$$