Упр.712 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых содержит диагональ куба, а другая — диагональ грани куба, равен 90°.

Введём прямоугольную систему координат так, чтобы вершины куба имели координаты

$$A(0,0,0),\quad B(a,0,0),\quad C(a,a,0),\quad D(0,a,0),$$

$$A_1(0,0,a),\quad B_1(a,0,a),\quad C_1(a,a,a),\quad D_1(0,a,a).$$

Тогда направляющие векторы прямых можно взять такими:

$$\overrightarrow{AC}=(a,a,0),\qquad \overrightarrow{DB_1}=(a,-a,a).$$

Найдём их скалярное произведение:

$$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DB_1}=a\cdot a+a\cdot(-a)+0\cdot a=a^2-a^2=0.$$

Следовательно,

$$\cos \angle(AC,DB_1)=\frac{\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DB_1}}{|\overrightarrow{AC}|\cdot|\overrightarrow{DB_1}|}=0,$$

значит,

$$\angle(AC,DB_1)=90^\circ.$$

Таким образом, угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых содержит диагональ куба, а другая — диагональ грани куба, равен $$90^\circ$$.

Ответ: $$90^\circ$$.