Упр.712 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых содержит диагональ куба, а другая — диагональ грани куба, равен 90°.

Подробный ответ

Введём прямоугольную систему координат так, чтобы вершина куба $$B$$ была началом координат, а рёбра куба были направлены вдоль осей координат. Пусть ребро куба равно $$a$$.

Тогда координаты вершин можно задать так:

$$B(0;0;0),\quad A(a;0;0),\quad C(0;a;0),\quad D(a;a;0),\quad B_1(0;0;a),\quad D_1(a;a;a).$$

Найдём направляющие векторы данных прямых:

$$\overrightarrow{AC}=( -a;\, a;\, 0),\qquad \overrightarrow{DB_1}=(-a;\, -a;\, a).$$

Скалярное произведение этих векторов равно

$$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DB_1}=(-a)(-a)+a(-a)+0\cdot a=a^2-a^2=0.$$

Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то они перпендикулярны. Значит, угол между прямыми $$AC$$ и $$DB_1$$ равен $$90^\circ$$.

Аналогично можно проверить и другие пары прямых, содержащих диагональ куба и диагональ грани куба: во всех случаях скалярное произведение соответствующих направляющих векторов равно нулю, следовательно, угол между ними равен $$90^\circ$$.