Упр.711 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B тетраэдре ABCD ZABD = ZABC = ZDBC = 90°, AB = BD = 2, BC = 1. Вычислите синус угла между прямой, проходящей через середины ребер AD и ВС, и плоскостью грани: а) ABD; б) DBC; в) ABC.

Подробный ответ

Введём прямоугольную систему координат так, чтобы

$$A(0,0,0),\quad B(2,0,0),\quad D(0,0,2),\quad C(2,1,0).$$

Тогда середины рёбер $$AD$$ и $$BC$$ имеют координаты

$$E\left(0,0,1\right),\quad F\left(2,\frac12,0\right).$$

Направляющий вектор прямой $$EF$$:

$$\overrightarrow{EF}=\left(2,\frac12,-1\right).$$

Синус угла между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между этой прямой и нормалью к плоскости.

а) Плоскость $$ABD$$. Нормаль к плоскости $$ABD$$ направлена вдоль оси $$Oy$$, поэтому можно взять

$$\vec n_{ABD}=(0,1,0).$$

Тогда

$$ \cos\varphi=\frac{\left|\overrightarrow{EF}\cdot \vec n_{ABD}\right|}{|\overrightarrow{EF}|\cdot |\vec n_{ABD}|} =\frac{\left|\frac12\right|}{\sqrt{2^2+\left(\frac12\right)^2+(-1)^2}} =\frac{\frac12}{\sqrt{5.25}} =\frac{1}{3}. $$

Значит,

$$\sin\angle(EF,ABD)=\frac13.$$

б) Плоскость $$DBC$$. Возьмём нормаль к этой плоскости. Так как

$$\overrightarrow{DB}=(2,0,-2),\quad \overrightarrow{DC}=(2,1,-2),$$

то

$$\vec n_{DBC}=\overrightarrow{DB}\times \overrightarrow{DC}=(2,0,2).$$

Тогда

$$ \cos\varphi=\frac{\left|\overrightarrow{EF}\cdot \vec n_{DBC}\right|}{|\overrightarrow{EF}|\cdot |\vec n_{DBC}|} =\frac{|2\cdot 2+0+\left(-1\right)\cdot 2|}{\sqrt{2^2+\left(\frac12\right)^2+(-1)^2}\cdot \sqrt{2^2+2^2}} =\frac{2}{3}. $$

Следовательно,

$$\sin\angle(EF,DBC)=\frac23.$$

в) Плоскость $$ABC$$. Нормаль к плоскости $$ABC$$ направлена вдоль оси $$Oz$$, поэтому

$$\vec n_{ABC}=(0,0,1).$$

Тогда

$$ \cos\varphi=\frac{\left|\overrightarrow{EF}\cdot \vec n_{ABC}\right|}{|\overrightarrow{EF}|\cdot |\vec n_{ABC}|} =\frac{1}{\sqrt{2^2+\left(\frac12\right)^2+(-1)^2}} =\frac{2}{3}. $$

Значит,

$$\sin\angle(EF,ABC)=\frac23.$$