Упр.711 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В тетраэдре $$ABCD$$ $$\angle ABD=\angle ABC=\angle DBC=90^\circ$$, $$AB=BD=2$$, $$BC=1$$. Вычислите синус угла между прямой, проходящей через середины рёбер $$AD$$ и $$BC$$, и плоскостью грани: а) $$ABD$$; б) $$DBC$$; в) $$ABC$$.

Подробный ответ

Введём прямоугольную систему координат так, чтобы точка $$B$$ была началом координат, а оси были направлены вдоль взаимно перпендикулярных рёбер $$BA$$, $$BC$$ и $$BD$$.

Тогда можно взять координаты:

$$B(0,0,0),\quad A(2,0,0),\quad C(0,1,0),\quad D(0,0,2).$$

Середины рёбер $$AD$$ и $$BC$$ имеют координаты

$$E\left(1,0,1\right),\quad F\left(0,\frac12,0\right).$$

Направляющий вектор прямой $$EF$$:

$$\overrightarrow{EF}=\left(-1,\frac12,-1\right).$$

Угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой и её ортогональной проекцией на нормаль к плоскости, поэтому

$$\sin\varphi=\frac{|\overrightarrow{EF}\cdot \vec n|}{|\overrightarrow{EF}|\cdot |\vec n|},$$

где $$\vec n$$ — нормаль к соответствующей плоскости.

Для плоскостей граней имеем:

плоскость $$ABD$$ имеет нормаль $$\vec n_1=(0,1,0)$$;
плоскость $$DBC$$ имеет нормаль $$\vec n_2=(1,0,0)$$;
плоскость $$ABC$$ имеет нормаль $$\vec n_3=(0,0,1)$$.

Вычислим длину вектора $$\overrightarrow{EF}$$:

$$|\overrightarrow{EF}|=\sqrt{(-1)^2+\left(\frac12\right)^2+(-1)^2}=\sqrt{\frac94}=\frac32.$$

Тогда:

а) для плоскости $$ABD$$

$$\sin\varphi=\frac{\left|\overrightarrow{EF}\cdot \vec n_1\right|}{|\overrightarrow{EF}|\cdot |\vec n_1|}=\frac{\left|\frac12\right|}{\frac32}=\frac13;$$

б) для плоскости $$DBC$$

$$\sin\varphi=\frac{\left|\overrightarrow{EF}\cdot \vec n_2\right|}{|\overrightarrow{EF}|\cdot |\vec n_2|}=\frac{1}{\frac32}=\frac23;$$

в) для плоскости $$ABC$$

$$\sin\varphi=\frac{\left|\overrightarrow{EF}\cdot \vec n_3\right|}{|\overrightarrow{EF}|\cdot |\vec n_3|}=\frac{1}{\frac32}=\frac23.$$