Упр.710 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В кубе $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ диагонали грани $$ABCD$$ пересекаются в точке $$N$$, а точка $$M$$ лежит на ребре $$A_1D_1$$, причём $$A_1M:MD_1=1:4$$. Вычислите синус угла между прямой $$MN$$ и плоскостью грани: а) $$ABCD$$; б) $$DD_1C_1C$$; в) $$AA_1D_1D$$.

Пусть ребро куба равно $$a$$. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $$A$$ и осями вдоль рёбер куба:

$$A(0,0,0),\quad B(a,0,0),\quad D(0,a,0),\quad A_1(0,0,a).$$

Тогда

$$D_1(0,a,a),\quad C(a,a,0).$$

Точка $$N$$ — центр квадрата $$ABCD$$, значит

$$N\left(\frac a2,\frac a2,0\right).$$

Точка $$M$$ лежит на ребре $$A_1D_1$$ и $$A_1M:MD_1=1:4$$, поэтому

$$A_1M=\frac15\,A_1D_1=\frac a5,$$

следовательно,

$$M\left(0,\frac a5,a\right).$$

Найдём вектор

$$\overrightarrow{MN}=\left(\frac a2,\frac{3a}{10},-a\right).$$

Угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой и её проекцией на эту плоскость, поэтому

$$\sin\varphi=\cos\theta,$$

где $$\theta$$ — угол между $$\overrightarrow{MN}$$ и нормалью к плоскости.

Для каждой плоскости берём соответствующий перпендикулярный ей вектор:

• к плоскости $$ABCD$$ — вектор $$\overrightarrow{DD_1}=(0,0,a)$$;
• к плоскости $$DD_1C_1C$$ — вектор $$\overrightarrow{DA}=(0,-a,0)$$;
• к плоскости $$AA_1D_1D$$ — вектор $$\overrightarrow{DC}=(a,0,0)$$.

Тогда

$$\cos\theta=\frac{|\overrightarrow{MN}\cdot \vec n|}{|\overrightarrow{MN}|\cdot|\vec n|}$$

и

$$|\overrightarrow{MN}|=\sqrt{\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac{3a}{10}\right)^2+a^2} =\sqrt{\frac{134}{100}}\,a=\frac{a\sqrt{134}}{10}.$$

а) Для плоскости $$ABCD$$:

$$\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{DD_1} =\left(\frac a2,\frac{3a}{10},-a\right)\cdot(0,0,a)=-a^2.$$

$$\sin\varphi=\frac{|{-a^2}|}{\frac{a\sqrt{134}}{10}\cdot a} =\frac{10}{\sqrt{134}}.$$

б) Для плоскости $$DD_1C_1C$$:

$$\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{DA} =\left(\frac a2,\frac{3a}{10},-a\right)\cdot(0,-a,0) =-\frac{3a^2}{10}.$$

$$\sin\varphi=\frac{\frac{3a^2}{10}}{\frac{a\sqrt{134}}{10}\cdot a} =\frac{3}{\sqrt{134}}.$$

в) Для плоскости $$AA_1D_1D$$:

$$\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{DC} =\left(\frac a2,\frac{3a}{10},-a\right)\cdot(a,0,0)=\frac{a^2}{2}.$$

$$\sin\varphi=\frac{\frac{a^2}{2}}{\frac{a\sqrt{134}}{10}\cdot a} =\frac{5}{\sqrt{134}}.$$

Ответ

а) $$\frac{10}{\sqrt{134}}$$; б) $$\frac{3}{\sqrt{134}}$$; в) $$\frac{5}{\sqrt{134}}$$.