Упр.710 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B кубе ABCDA1B1C1D1 диагонали грани ABCD пересекаются в точке N, а точка M лежит на ребре A1D1, причем A1M : MD1 = 1 : 4. Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани: а) ABCD; б) DD1C1C; в) AA1D1D.
Пусть ребро куба равно $$a$$. Введём прямоугольную систему координат так, чтобы
$$A(0,0,0),\quad B(a,0,0),\quad D(0,a,0),\quad A_1(0,0,a).$$
Тогда
$$C(a,a,0),\quad D_1(0,a,a).$$
Точка $$N$$ — центр квадрата $$ABCD$$, значит
$$N\left(\frac a2,\frac a2,0\right).$$
Точка $$M$$ лежит на ребре $$A_1D_1$$ и $$A_1M:MD_1=1:4$$, поэтому
$$A_1M=\frac15\,A_1D_1=\frac a5,$$
следовательно,
$$M\left(0,\frac a5,a\right).$$
Найдём вектор
$$\overrightarrow{MN}=\left(\frac a2,\frac a2-\frac a5,-a\right)=\left(\frac a2,\frac{3a}{10},-a\right).$$
Угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой и её проекцией на эту плоскость, поэтому
$$\sin\varphi=\cos\theta,$$
где $$\theta$$ — угол между $$\overrightarrow{MN}$$ и нормалью к плоскости.
а) Плоскость $$ABCD$$. Нормаль к ней можно взять в виде $$\overrightarrow{DD_1}=(0,0,a)$$.
Тогда
$$ \cos\theta= \frac{\left|\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{DD_1}\right|} {|\overrightarrow{MN}|\cdot |\overrightarrow{DD_1}|} = \frac{| -a^2 |} {\sqrt{\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac{3a}{10}\right)^2+a^2}\cdot a} $$
$$ = \frac{a^2}{a^2\sqrt{\frac14+\frac{9}{100}+1}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{134}{100}}} = \frac{10}{\sqrt{134}}. $$
Значит,
$$\sin\varphi=\frac{10}{\sqrt{134}}.$$
б) Плоскость $$DD_1C_1C$$. Нормаль к ней можно взять в виде $$\overrightarrow{DA}=(0,-a,0)$$.
Тогда
$$ \cos\theta= \frac{\left|\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{DA}\right|} {|\overrightarrow{MN}|\cdot |\overrightarrow{DA}|} = \frac{\left|-\frac{3a^2}{10}\right|} {\sqrt{\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac{3a}{10}\right)^2+a^2}\cdot a} = \frac{3}{\sqrt{134}}. $$
Следовательно,
$$\sin\varphi=\frac{3}{\sqrt{134}}.$$
в) Плоскость $$AA_1D_1D$$. Нормаль к ней можно взять в виде $$\overrightarrow{DC}=(-a,0,0)$$.
Тогда
$$ \cos\theta= \frac{\left|\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{DC}\right|} {|\overrightarrow{MN}|\cdot |\overrightarrow{DC}|} = \frac{\left|\frac{a^2}{2}\right|} {\sqrt{\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac{3a}{10}\right)^2+a^2}\cdot a} = \frac{5}{\sqrt{134}}. $$
Значит,
$$\sin\varphi=\frac{5}{\sqrt{134}}.$$
Ответ
а) $$\frac{10}{\sqrt{134}}$$; б) $$\frac{3}{\sqrt{134}}$$; в) $$\frac{5}{\sqrt{134}}$$.