Упр.71 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Изобразите тетраэдр $$DABC$$ и на рёбрах $$DB$$, $$DC$$ и $$BC$$ отметьте соответственно точки $$M$$, $$N$$ и $$K$$. Постройте точку пересечения: а) прямой $$MN$$ и плоскости $$ABC$$; б) прямой $$KN$$ и плоскости $$ABD$$.

Подробный ответ

Точки $$M$$ и $$N$$ лежат в плоскости $$DBC$$, а точки $$N$$ и $$K$$ — в плоскости $$DBC$$, значит прямая $$MN$$ лежит в плоскости $$DBC$$, а прямая $$KN$$ — тоже в этой плоскости.

Чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью, достаточно построить пересечение этой прямой с линией пересечения данной плоскости с плоскостью, в которой лежит прямая.

Плоскости $$DBC$$ и $$ABC$$ пересекаются по прямой $$BC$$. Поэтому точка пересечения прямой $$MN$$ с плоскостью $$ABC$$ — это точка пересечения прямых $$MN$$ и $$BC$$. Обозначим её через $$P$$:

$$P=MN\cap BC.$$

Аналогично, плоскости $$DBC$$ и $$ABD$$ пересекаются по прямой $$BD$$. Поэтому точка пересечения прямой $$KN$$ с плоскостью $$ABD$$ — это точка пересечения прямых $$KN$$ и $$BD$$. Обозначим её через $$Q$$:

$$Q=KN\cap BD.$$

Ответ: $$P=MN\cap BC$$, $$Q=KN\cap BD$$.