Упр.709 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ $$AB=1$$, $$BC=2$$, $$BB_1=3$$. Вычислите косинус угла между прямыми: а) $$AC$$ и $$D_1B$$; б) $$AB_1$$ и $$BC_1$$; в) $$A_1D$$ и $$AC_1$$.

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $$A$$ и осями, направленными вдоль рёбер параллелепипеда. Тогда

$$A(0,0,0),\quad B(1,0,0),\quad C(1,2,0),\quad D(0,2,0),$$

$$A_1(0,0,3),\quad B_1(1,0,3),\quad C_1(1,2,3),\quad D_1(0,2,3).$$

Косинус угла между прямыми найдём по формуле

$$\cos\varphi=\frac{\vec a\cdot \vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|}.$$

а) Для прямых $$AC$$ и $$D_1B$$ имеем

$$\vec{AC}=(1,2,0),\qquad \vec{D_1B}=(1,-2,-3).$$

Тогда

$$\vec{AC}\cdot \vec{D_1B}=1\cdot 1+2\cdot(-2)+0\cdot(-3)=-3,$$

$$|\vec{AC}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5,\qquad |\vec{D_1B}|=\sqrt{1^2+(-2)^2+(-3)^2}=\sqrt{14}.$$

Следовательно,

$$\cos\angle(AC,D_1B)=\frac{|-3|}{\sqrt5\cdot\sqrt{14}}=\frac{3}{\sqrt{70}}.$$

б) Для прямых $$AB_1$$ и $$BC_1$$ получаем

$$\vec{AB_1}=(1,0,3),\qquad \vec{BC_1}=(0,2,3).$$

Тогда

$$\vec{AB_1}\cdot \vec{BC_1}=1\cdot 0+0\cdot 2+3\cdot 3=9,$$

$$|\vec{AB_1}|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10},\qquad |\vec{BC_1}|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}.$$

Значит,

$$\cos\angle(AB_1,BC_1)=\frac{9}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{13}}=\frac{9}{\sqrt{130}}.$$

в) Для прямых $$A_1D$$ и $$AC_1$$ имеем

$$\vec{A_1D}=(0,2,-3),\qquad \vec{AC_1}=(1,2,3).$$

Тогда

$$\vec{A_1D}\cdot \vec{AC_1}=0\cdot 1+2\cdot 2+(-3)\cdot 3=-5,$$

$$|\vec{A_1D}|=\sqrt{0^2+2^2+(-3)^2}=\sqrt{13},\qquad |\vec{AC_1}|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}.$$

Следовательно,

$$\cos\angle(A_1D,AC_1)=\frac{|-5|}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{14}}=\frac{5}{\sqrt{182}}.$$

Ответ

а) $$\frac{3}{\sqrt{70}}$$; б) $$\frac{9}{\sqrt{130}}$$; в) $$\frac{5}{\sqrt{182}}$$.